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A questo punto allora non so cosa fare. Contrariamente a come pensavo dal tuo hint non posso trovare un controesempio. Ho scoperto il mio errore, nel penultimo passaggio ho messo un 2 di troppo. Mi pare di capire che neppure tu conosci una dimostrazione generale figuriamoci io...ho capito bene?

Io una dimostrazione la conosco.

Hint - usando il fatto che la forza su ogni carica è zero, riesci a portare le tue cariche dalla posizione iniziale, fino all'infinito, senza fare lavoro?

Si va per lunghe con la riparazione per cui spero di spiegarmi in forma retorica. Vettore Fi(vettore ri) è ora nullo per ogni i ( rappresenta la risultante delle forze esercitate sulla iesima dalle altre cariche positive e negative all'equilibrio). Il lavoro infinitesimo - Fi(ri)dri è nullo e rimane tale se lo integriamo fra ri e infinito . Sarebbe insomma 0= - U(infinito)+U(vettore ri)=U(vettore ri). Siccome vale per ogni i l'energia elettrostatica Ue risulterà nulla. Ma poteva anche vedersi con le derivate parziali. Infatti -dL=der.parz.rispetto xi per dxi +der.parz.rispetto yi per dyi = dU =0 cioè integrando fra xi yi e infinito si ha 0- - U(vettore ri)=0 da cui segue ancora U(vettore ri)=0 e dunque ancora Ue=0........ ??

Il "rimane tale se lo integriamo tra ri e infinito" non è per niente ovvio però, anzi, in generale non è vero... Però c'è un modo furbo di muovere tutte le cariche contemporaneamente, così che diventi vero

Se ne muovi una sola, e la porti all'infinito, stai sostanzialmente rimuovendo i termini che la contengono dalla somma dell'energia potenziale. Ad esempio nel tuo esempio sopra del quadrato, portando all'infinito la carica centrale, avresti tolto tutti e soli i termini negativi. Quindi il lavoro fatto su questa non sarebbe 0.

Però c'è un modo per spostare tutte le cariche in contemporanea facendo zero lavoro...

Abbiamo vecF1=Kq1sum j>1 qj r1-rj/r1-rj al cubo e analogamente fino a k qn-1 qn tutti con i<j. Siccome per ipotesi vec Fi=vec0 per ogni i anche la loro risultante sarà nulla. Quindi trasportando tutto il sistema all'infinito non compiamo alcun lavoro dall'esterno. Ma questo lavoro equivale ad -Ue che pertanto risulta 0. Quindi è vero che per un sistema di cariche in equilibrio l'energia potenziale elettrostatica è nulla ??

"Trasportando tutto il sistema all'infinito" che vuol dire?

Se non fai altro che traslare il tutto, i rimangono uguali, quindi il calcolo di rimane uguale. E quindi non hai dimostrato che è zero.

Se invece cambi la configurazione allontanando le cariche le uno dalle altre, rischi di ritrovarti presto in una situazione in cui le forze non sono più nulle, dato che queste sono nulle solo nella configurazione iniziale.

Devi riuscire a portare le cariche all'infinito (nel senso, a distanza molto grande le une dalle altre) senza fare lavoro. C'è un modo relativamente facile di farlo passando solo da configurazioni che hanno la stessa energia potenziale...

Per passare ad una configurazione che abbia la stessa energia potenziale,siccome allontanando le cariche le une dalle altre diminuiscono in valore assoluto sia componente positiva che quella negativa , bisogna che queste componenti diminuiscano della stessa quantità fino a ridursi a 0. Da cui si dedurrebbe che l'energia potenziale era 0 anche all'inizio?? E dove starebbe l'ipotesi

Spiego la mia soluzione, comunque prendi pure tu la staffetta dato che sei l'unico ad averci provato e avevi risolto la prima meta'

Sia la forza agente sulla particella . Qua e' la distanza tra la particella e quella e e' il versore tra le due particelle. Per ipotesi, per ogni .

Abbiamo gia' discusso qua sopra che poiche' (equivalentemente, poiche' il campo elettrico in e' nullo), per spostare la particella di un spostamento molto piccolo non serve fare lavoro. Tuttavia, per spostarla di uno spostamento non infinitesimo potrebbe servire lavoro perche' il campo elettrico non e' nullo in tutti i punti.

Facciamo allora cosi': spostiamo tutte le particelle di uno spostamento opportuno tale che si siano tutte allontanate, e che sia ancora vero che per ogni . Un modo di fare cio' e' quella di fissare l'origine delle coordinate da qualche parte e trascinare ogni vettore posizione fino a .

Per visualizzarlo semplicemente, nel caso del tuo quadrato, metti l'origine sulla carica negativa e allontana tutte le cariche positive di . Hai costruito un quadrato piu' grande, con i lati paralleli a quello precedente, e, se era zero prima, lo e' anche adesso.

Questo perche', se abbiamo esteso ogni distanza di , i versori rimangono uguali, e la nuova forza e':


Questo funziona perche' il fattore e' comune a tutti i denominatori. Non sarebbe stato vero (e infatti la tesi e' falsa in tal caso) se la forza elettrostatica avesse avuto una forma diversa, ad esempio o simili.

Adesso abbiamo un metodo per portare le cariche ad una configurazione in cui sono piu' lontano, senza fare lavoro, e in cui di nuovo la forza e' sempre zero. Ripetiamo all'infinito e le abbiamo portate all'infinito senza fare lavoro, e quindi l'energia potenziale doveva essere zero, CVD.

Chiedo tempo per riflettere perchè nel caso del quadrato mi torna data la simmetria particolare delle cariche quando tuttavia si dimostrava che con U=0 . Qui non c'è simmetria e gli spostamenti possono essere molto diversi e avevi detto di non far comparire i versori ma con il cubo a denominatore...Devo ancora capire se davvero da si può passare a ...