No, certo che no. Non ha senso dire che le astronavi si accorciano "in testa"o "in coda", e infatti non è quello che dico. Tantomeno, la distanza tra le due astronavi non è di 13 metri secondo l'osservatore a Terra.
Permettimi di essere più preciso. Fissiamo i due sistemi di riferimento,
solidale con le astronavi e
solidale l'osservatore sulla Terra. Diciamo per comodità che entrambi i sistemi hanno l'asse delle
allineato con la direzione e puntante nel verso del moto. Inoltre diciamo che la posizione dell'osservatore a Terra è
nel sistema
e che la coda della nave più indietro è posta nell'origine del sistema
. Chiamiamo ora
la lunghezza a riposo di ciascuna astronave,
la lunghezza a riposo della distanza fra coda dell'astronave avanti e muso dell'astronave indietro, e
la velocità relativa fra i due sistemi. Ovviamente, allora, chiamando
la coda dell'astronave indietro,
il suo muso,
la coda dell'astronave avanti e
il suo muso, le coordinate spazio-temporali di
,
,
e
nel sistema
sono:
)
,
)
,
)
,
)
Essendo
il tempo misurato nel sistema
, con
nel momento in cui le astronavi lasciano la Terra.
Noi ci chiediamo come veda l'osservatore a Terra le due astronavi in viaggio, cioè quali siano le coordinate spazio-temporali di
,
,
e
nel sistema
.
A tal proposito, facciamo uso delle Trasformazioni di Lorentz, le quali permettono proprio di passare da un sistema di riferimento ad un altro. Nel nostro caso, le trasformazioni assumono la forma:
e
sono le coordinate che nel sistema
identificano lo stesso evento cui nel sistema
corrispondono le coordinate
e
.
Applicandole ad
,
,
e
possiamo ricavarne le coordinate in
:
)
,
)
,
}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Bigg))
,
}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Bigg))
Ora, diciamo che nel sistema
la lunghezza di un'astronave vale
e la distanza fra le due vale
, e diciamo pure che non conosciamo la relazione fra queste quantità e
e
. Sappiamo però che in questo sistema ciascun punto delle due astronavi si muove a velocità
, e abbiamo posto che al tempo
la coda dell'astronave più indietro si trovi in
(cioè che inizialmente le origini dei due sistemi coincidano). Pertanto potremo scrivere:
)
,
)
,
)
,
)
.
Abbiamo pertanto trovato il modo di esprimere le stesse coordinate di
,
,
e
nel sistema
. Dunque, eguagliandole, possiamo ricavare i valori di
e
in funzione di
e
, ritrovando le arcinote formule:
,
.
Questo prova la realtà delle contrazioni, e spero che tu adesso abbia capito.
Per dirla a parole: sbagli nel pensare che ciò che dico significhi che una navicella si accorcia da una parte e l'altra astronave da un'altra parte. La contrazione, torno a dirlo, riguarda l'intera direzione del moto, e riguarda gli oggetti fisici come gli spazi vuoti (quello fra le due navicelle, per intenderci).