44: Pulegge infinite

[andrea96]

Ho appena fatto il problema e mi viene lo stesso risultato di simone! Nemmeno io usato la serie ed ero sicurissimo di non averne bisogno. Il problema secondo me è molto bello perchè per farlo (almeno come l ho fatto io) ci vogliono molte idee furbe e un paio di assunzioni per niente banali.

[andrea96]

P. S. Comunque (almeno per la mia soluzione ) non è necessario che m0 abbia quel valore. Qualunque valore diate a m0 riuscite a trovare una soluzione.

[Simone256]

Ottimo
Attendiamo una conferma o una smentita

[CapitanFindus]

complimenti a Simone e ad Andrea! il risultato è giusto

postate la vostra soluzione!

sono proprio curioso di vedere come avete fatto a farlo senza le serie

formalmente la soluzione sarebbe

per t ≥1/ 4 , a = −g ,
per t =1/2 , a = 0
e per altri valori di t , a = g/[ 1 - 2t/ (1-2t)^2 ]

[andrea96]

Se posso mettere solo l impostazione e i conti ognuno se li fa per se la posto subito. Altrimenti lascio l onore (e l onere) a simone

[andrea96]

Provo a spiegarlo cercando di essere più chiaro possibile e rischiando anche di essere pignolo visto che alcuni punti del procedimento se non vengono giustificati bene possono sembrare assunzioni campate in aria. Come ho detto salto la risoluzione delle equazioni che mi vengono alla fine tanto quelle potete farle da voi.
Innanzi tutto... LEMMA DEL DADO: cos'è? se lo cercate su wikipedia non esiste, se lo cercate su un qualsiasi libro non esiste... ma esiste! esiste perchè è il nome con cui io e qualche altro ragazzo definiamo un tipo di risoluzione in cui si sfrutta il fatto che un problema è iterativo ( il nome viene dal fatto che il principale problema di questo tipo è quello in cui si chiede la probabilità di vittoria se lanciano un dado si vince con 5,6 si perde con 1,2,3 e si rilancia con 4 ); cosa c'è qui di iterativo? beh, il fatto che passando da una puleggia alla successiva la situazione è identica a meno di qualche fattore ( che è il punto piu interessante della soluzione ); innanzi tutto notiamo che da in poi ogni massa si ottiene dalla precedente moltiplicandola per ; per convenzione chiamo livello quello in cui c'è un puleggia a cui è attaccata la massa numero .
Osserviamo prima il livello zero: La corda ha una tensione e la massa ha un accelerazione ( che prendo positiva verso l'alto ) ; dall'altra parte è attaccato tutto quel sistema di altre carrugole che avrà un influenza sul moto di , quest'influenza la schematiziamo con una massa fittizia che non ci è dato conoscere. IMPORTANTE: non è la somma di tutte le masse dall'altra parte visto che non c'è una giustificazione sensata per dire una cosa del genere! è l'analogo di una resistenza equivalente in elettrodinamica, riproduce gli effetti del sistema e possiamo conoscerla solo a posteriori, non possiamo fare ipotesi a priori sul valore di , però è importantissimo capire da cosa dipende : certamente è proporzionale alle masse che si trovano dall'altra parte, infatti si immaginassimo di moltiplicare tutte le masse dall'altra parte per un certo fattore, sicuramente l'influenza di tutto quel sistema di masse sulla prima cambierebbe di quel fattore; cosa ancora più importante: può dipendere dall'accelerazione di gravità? no! infatti l'influenza di tutte quelle masse sulla prima è e se immaginassimo di diminuire la gravità l'influenza diminuirebbe linearmente con essa dunque non può dipendere da .
Ora scriviamo le equazioni per il livello zero:

.
Ora passiamo al livello 1: prima cosa banale da dire è che il fatto che la carrugola sia prima di massa implica che la risultante su di essa deve essere nulla, dunque visto che la forza è applicata sulla carrugola da entrambe i lati.
Ora mettiamoci nel sistema di riferimento della carrugola 1, qui si muove verso l'alto con un accelerazione , mentre dall'altra parte abbiamo una massa fittizia . Ora due considerazioni importanti: 1) la considerazione sul livello due la sto facendo in un sistema non inerziale che si muove verso il basso con accelerazione quindi nelle equazioni del moto dobbiamo aggiungere a ogni massa una forza apparente traslazionale verso l'alto, , 2) la massa fittizia non è una nuova incognita, ma è legata alla massa fittizia , ed è qui che utiliziamo finalmente il famigerato lemma del dado: infatti se guardiamo il sistema al livello 1 è ignoriamo ciò che c'è sopra, la situazione è analoga a quella nel livello zero solo che le masse a destra sono tutte moltiplicate per e c'è una forza apparente che però possiamo intelligentemente considerare alla stregua di una diminuzione dell'accelerazione gravitazionale che diventa quindi , e visto che abbiamo detto che le masse fittizie devono essere indipendenti dalla gravità, questa nuova massa fittizia non è influenzata dalla forza apparente ma solo dal fattore che moltiplica tutte le masse; quindi .
Siamo allora pronti per scrivere le equazioni del secondo livello:


Praticamente abbiamo finito! riassumo le equazioni che ho trovato:




che costituiscono un sistema di 4 eq. 4 incognite nelle variabili , , e ; se vi interessa potete anche trovarvele tutte ma lo scopo del problema è quello di trovare che viene:
.
Se co sono punti che non avete capito dite pure

[Simone256]

Mammamia io sinceramente non avrei avuto voglia di scrivere tutto questo! Il mio procedimento comunque è identico e posso vantarmi di essere uno dei portatori della novella del Lemma del Dado .
Comunque meriti tu di impossessarti del testimone anche perchè or ora ho in mente solo vecchi problemi di senigallia (che è quello che sto facendo negli ultimi giorni) e dubito possano interessare molto visto che li potete trovare quando volete!
Comunque complimenti a CapitanFindus per il problema davvero molto molto bello

[6frusciante9]

@andrea96 Scusa la mia ottusaggine ma potresti scrivermi ( anche in mp ) cos'è e a cosa serve la massa fittizia ? Grazie

[Simone256]

Se vuoi ti rispondo io! Il sistema costituito da un infinito numero di pullegge si comporta in maniera strana! Ha una massa molto grande ma parti di questa sono accellerate verso il basso con valori diversi e molto incasinati! Così se tu avessi un numero stragrande di resistenze e metti un generatore ai capi del circuito, ti risulterá facile (misurando la corrente) dare un valore R riassuntivo che assume la funzione di resistenza equivalente! In questo caso tu fai finta che a sinistra al posto macello ci sia una massa M che assume (sia in termini di inerzia che in termini gravitazionali) le stesse caratteristiche!

[andrea96]

Lo scrivo qui così lo chiarisco per tutti. La massa fittizia è una massa che messa al posto di tutta la parte del sistema dopo di quella non cambia nulla nella parte del sistema prima di quella. Non ha un interpretazione fisica rilevante ma è utile per risolvere il problema per io fatto che riesci a trovare una relazione semplice tra le masse fittizie di due livelli successivi. Teoricamente infatti potresti anche anche schematizzare l azione del sistema al dilá di una massa con una forza F, ma faresti piu difficoltá a dedurre una relazione tra le F di due livelli successivi.
P. S. Non pensare che l idea di mettere la massa fittizia mi sia venuta in mente per magia, l idea di sostituire un sistema complesso con qualcosa di più semplice è molto utilie e usata in fisica, l esempio piu classico è il metodo delle immagini in elettrostatica. Se sei abituato a fare cose nel genere è piu probabile che in un problema del genere ti venga in mente di sostutuire un sistema complesso con una massa che riproduce la stessa cosa.
se c'è qualcosa che non ti è chiaro chiedi pure.