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Re: Accelerazione di gravità in un pozzo
Inviato: 10 ago 2014, 17:01
da poor
Una postilla importante ad Andrea96 quando dice giustamente che se g'(r)=0 in ogni r allora g(r) è costante e non dipende da r. Cioè se in tutti gli r è soddisfatta la condizione
= 2\int_0^{r}{\rho(r).r^{2}dr})
, equivalente a
=(2/3)\rho_m)
allora g(r) è costante e non dipende dalla profondità R-r. Ma viene da chiedersi quale sia la densità che soddisfa la condizione. Derivando membro a membro la condizione stessa si trova, essendo la derivata dell'integrale la funzione integranda nel secondo estremo,
= - \frac{\rho(r)}{r})
. Separando le variabili
ed r ed integrando si arriva a determinare
= \frac{k}{r})
dove k è un'opportuna costante. Essa diverge quando r tende a 0. Mi rendo antipatico ma io...l'avevo detto nel mio post del 7/8. Sostituendo nell'espressione di
=GM(r)/r^{2})
si trova
= 4G\pi k)
E si può determinare k in modo per esempio da rendere sempre g(r)=g=9,8
(poor)
Re: Accelerazione di gravità in un pozzo
Inviato: 10 ago 2014, 17:08
da andrea96
Re: Accelerazione di gravità in un pozzo
Inviato: 10 ago 2014, 17:27
da andrea96
sappiamo che in un corpo a simmetria sferica le linee di campo gravitazionale sono radiali e il campo stesso ha simmetria sferica; conseguenza di ciò: se
)
è la massa contenuta all interno della sfera di raggio r, grazie a gauss sappiamo che possiamo considerare ( ai fini del calcolo di
)
) che la massa è concentrata nel centro, e scrivere quindi
=\frac{GM(r)}{r^2})
.
Decidiamo ora di sprofondare un pochetto nella terra e di arrivare alla distanza
dal centro. Ora la massa contenuta sarà
=M(r)-\rho(r) dV=M(r)-4\pi\rho(r)r^2dr)
.
Se vogliamo che l'accelerazione non cambi dobbiamo imporre che
=g(r))
, cioé
}{r^2}=\frac{G(M(r)-4\pi\rho(r)r^2dr)}{(r-dr)^2})
, che svolgendo i calcoli e trascurando il termine
perchè infinitesimo di ordine superiore, porta alla relazione
=2\pi\rho(r)r^3)
ma sappiamo anche che detta
)
la denistà media dentro
,
=<\rho>(r) \frac{4\pi r^3}{3})
e quindi
=\frac{2}{3} <\rho>(r))
Re: Accelerazione di gravità in un pozzo
Inviato: 10 ago 2014, 17:28
da andrea96
giusto per far vedere un metodo alternativo a quello più diretto...
Re: Accelerazione di gravità in un pozzo
Inviato: 12 ago 2014, 10:36
da poor
andrea96 ha scritto:la costante comunque si puo determinare anche imponendo che l'integrale della densità su tutto il volume deve essere uguale alla massa totale!
Certamente, ho fatto solo un esempio. Bene anche l'altra dimostrazione. Non si può mai dire ma penso che si sia sviscerato questo problema. Almeno a me attenua l'ansia in vista del test sns.
Re: Accelerazione di gravità in un pozzo
Inviato: 12 ago 2014, 14:19
da andrea96
lo fai quest anno????
Re: Accelerazione di gravità in un pozzo
Inviato: 13 ago 2014, 10:21
da poor
Credo di essere di un anno più grande di te...ma non chiedermi chi sono nell'elenco sul sito perchè non te lo dico...
