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Mike ha scritto:Se non sbaglio, il testo voleva che l'angolo di deviazione fosse maggiore di 120°, non uguale ad esso...

Vista quest'altra informazione e visto che cercando di capire e cercando di farmi capire ho perso di vista l'obbiettivo del problema propongo una soluzione che non è assolutamente definitiva (infatti visto che l'incertezza non è più sull'angolo dato che questo deve essere maggiore di un certo valore non riesco a capire su cosa sia se non sulla distribuzione delle sfere) ma è uno spunto per fare un riepilogo generale e da cui partire per nuove considerazioni.

Avendo definito nel post precedente il parametro d'impatto h, tutti i pallini che vengono riflessi con un angolo maggiore di 120° (nella visione 2d del cubo osservato dalla faccia verso cui i pallini sono sparati) sono quelli compresi in una corona circolare di raggi R+r ed h, che occupano un area (per ogni sfera) uguale a Dunque l'area totale è uguale all'area occupata per una singola sfera per il numero totale delle sfere (nella configurazione in cui nessuna sfera è nemmeno parzialmente coperta da un'altra) . A questo punto dobbiamo definire il flusso di pallini, ossia il numero di pallini per unità di superficie. Ogni pallino occupa uno spazio minimo uguale ad un cubo di lato 2r, che nel nostro problema a 2d si traduce in un quadrato di lato 2r. Dunque il flusso dei pallini vale Allora il numero di pallini che verranno deviati con un angolo maggiore di 120° saranno dati dal flusso per l'area che gli consente una tale deflessione che avevo trovato prima. Quindi risolvendo numericamente si trova n=529,875. Il fatto che il numero non sia intero è dovuto all'aver diviso l'area della corona circolare in tanti quadratini (l'area minima di ogni pallino) dato che in realtà alcuni uscirebbero in parte dall'area della corona. Potrebbe essere riferito a quest'approssimazione quel poco compreso (almeno da me) 10% di errore?

Ho finalmente capito cosa intendi per h. Ma i pallini che "entrano nella circonferenza di raggio h" dovrebbero essere una corona di pallini come quelle che vendono alle bancarelle. La probabilità che ciò accada mi pare nulla perchè al solito si tratta di UN angolo su infiniti. Inoltre, anche in seguito alla nuova informazione,ipotizzi una corona circolare di raggi h e r+R. Ma se la corona è intesa ora come una superficie arrivi addirittura ad un risultato numerico e non percentuale. La cosa non mi convince.
Per quanto mi riguarda ho deciso di integrare la mia soluzione al primo quesito al caso maggiore di 120° e di proporre la soluzione al secondo quesito; lo farò in giornata attendendo poi il testo UFFICIALE ed eventualmente o un giudizio dei nostri esperti o la soluzione ufficiale. Ci sono abituato: la mia soluzione al n.6 dello scorso anno, data nel dicembre 2011, è stata da qualcuno scoperta sbagliata dopo l'uscita in luglio delle soluzioni ufficiali!

La casualità impone che ai pallini incidenti perpendicolarmente la faccia su cui si spara appaia come uno schermo di 4 con 10000 quadratini in 300 dei quali è presente un cerchio ( sfera): infatti la "profondità" a cui una sfera si trova non ha rilevanza, non ci sono sovrapposizioni e si tratta solo la prima deviazione, uguale a con angolo di incidenza. La densità di pallini incidenti è costante.
1) Siccome il raggio della sfera è 1 cm e quello del pallino è 1/2 cm, al fine della possibilità d'urto tutto va come se il pallino avesse dimensioni trascurabili e la sfera avesse raggio 1,5 cm, ciascun quadrato l'area di e la faccia su cui si spara l'area di . Le 300 sfere occupano così un'area pari a che è il 2,3% dei e rappresenta la percentuale di pallini che mediamente urtano una sfera. Se la deviazione deve essere > di 120° , l'urto deve avvenire con un angolo di incidenza minore di 30°,ovvero, con l'approssimazione del 10%, nella zona sferica relativa a 33° che, proiettata sul piano della faccia su cui si spara, occupa un'area di. Essa sta nel rapporto con l'area del cerchio massimo e in conclusione la percentuale dei pallini deviati oltre 120°, con approssimazione 10%, è
0,023.0,296= 0,00680 poco meno di 7 pallini su 1000 sparati
2) Se le sfere sono 9000, l'area da esse occupata è mentre l'area libera è (90000 - 63585)= . La percentuale dei pallini che cade in quest'ultima e che quindi non viene deviata è (26415/90000)= 0,293. Gli altri pallini urteranno le sfere. Con un'approssimazione del 10%, l'angolo di incidenza dovrà superare 81°(=90-10% di 90): l'area della relativa zona sferica, proiettata sul piano della faccia, sta in un rapporto con l'area del cerchio massimo. Pertanto la percentuale dei pallini non deviati sarà in questo caso (0,706.0,024) = 0,016,dando quindi in conclusione come percentuale dei pallini non deviati il 30,9% con la solita approssimazione.

modesto ha scritto:Ho finalmente capito cosa intendi per h. Ma i pallini che "entrano nella circonferenza di raggio h" dovrebbero essere una corona di pallini come quelle che vendono alle bancarelle. La probabilità che ciò accada mi pare nulla perchè al solito si tratta di UN angolo su infiniti. Inoltre, anche in seguito alla nuova informazione,ipotizzi una corona circolare di raggi h e r+R. Ma se la corona è intesa ora come una superficie arrivi addirittura ad un risultato numerico e non percentuale. La cosa non mi convince.
Per quanto mi riguarda ho deciso di integrare la mia soluzione al primo quesito al caso maggiore di 120° e di proporre la soluzione al secondo quesito; lo farò in giornata attendendo poi il testo UFFICIALE ed eventualmente o un giudizio dei nostri esperti o la soluzione ufficiale. Ci sono abituato: la mia soluzione al n.6 dello scorso anno, data nel dicembre 2011, è stata da qualcuno scoperta sbagliata dopo l'uscita in luglio delle soluzioni ufficiali!

Perchè bisognerebbe arrivare ad un risultato percentuale e non numerico? Mi pare che il testo chiedesse quanti pallini e non quanti su un dato numero, inoltre anche dal mio ragionamento si potrebbe arrivare alla percentuale dividendo l'area utile per quella totale. Poi non capisco il fatto che ritieni la probabilità nulla, essendo i pallini ipoteticamente in numero infinito qualcuno urterà proprio con la data angolazione (nei limiti dell'errore sperimentale), altrimenti qualunque angolo avrebbe probabilità nulla di essere colpito!

A parte il fatto discutibile del numero INFINITO di pallini, la probabilità che io sappia è il rapporto fra i casi favorevoli ad un certo evento ed i casi possibili. Nel tuo caso l'evento è "deviazione di UN dato angolo", quindi UN caso favorevole; i casi possibili sono palesemente in numero infinito e quindi la probabilità è nulla! Ma tu obietti: eppure qualche pallino sarà deviato proprio di quell'angolo! Infatti può accadere. Si tratta nel nostro caso di una variabile continua e non discreta come nel caso dei dadi. Credo che il problema vada allora impostato facendo intervenire la funzione densità di probabilità. Si divide l'angolo fra 0° e 180° in intervalli infinitesimi: la funzione densità è il rapporto fra la probabilità infinitesima di deviare di un angolo infinitesimo e l'angolo stesso. Il rapporto fra due infinitesimi può essere finito(derivate). Generalmente è costante e scelto in modo che venga 1 (certezza) la probabilità che sia deviato fra 0° e 180°. Per cui ricavando la probabilità infinitesima e integrando fra due certi angoli si ricava la probabilità che la deviazione sia ivi compresa. Ecco perchè tu hai introdotto le corone circolari: perchè corrispondono ad un INTERVALLO e non a un SINGOLO angolo. Ecco perchè io ho inteso l'approssimazione del 10% come riferita a INTERVALLI angolari - che poi portano a PERCENTUALI di pallini.