La casualità impone che ai pallini incidenti perpendicolarmente la faccia su cui si spara appaia come uno schermo di 4
con 10000 quadratini in 300 dei quali è presente un cerchio ( sfera): infatti la "profondità" a cui una sfera si trova non ha rilevanza, non ci sono sovrapposizioni e si tratta solo la prima deviazione, uguale a
con
angolo di incidenza. La densità di pallini incidenti è costante.
1) Siccome il raggio della sfera è 1 cm e quello del pallino è 1/2 cm, al fine della possibilità d'urto tutto va come se il pallino avesse dimensioni trascurabili e la sfera avesse raggio 1,5 cm, ciascun quadrato l'area di
e la faccia su cui si spara l'area di
. Le 300 sfere occupano così un'area pari a
che è il 2,3% dei
e rappresenta la percentuale di pallini che mediamente urtano una sfera. Se la deviazione deve essere > di 120° , l'urto deve avvenire con un angolo di incidenza minore di 30°,ovvero, con l'approssimazione del 10%, nella zona sferica relativa a 33° che, proiettata sul piano della faccia su cui si spara, occupa un'area di
)
. Essa sta nel rapporto
con l'area del cerchio massimo e in conclusione la percentuale dei pallini deviati oltre 120°, con approssimazione 10%, è
0,023.0,296= 0,00680 poco meno di 7 pallini su 1000 sparati
2) Se le sfere sono 9000, l'area da esse occupata è
= 63585 cm^{2})
mentre l'area libera è (90000 - 63585)=
. La percentuale dei pallini che cade in quest'ultima e che quindi non viene deviata è (26415/90000)= 0,293. Gli altri pallini urteranno le sfere. Con un'approssimazione del 10%, l'angolo di incidenza dovrà superare 81°(=90-10% di 90): l'area della relativa zona sferica, proiettata sul piano della faccia, sta in un rapporto
con l'area del cerchio massimo. Pertanto la percentuale dei pallini non deviati sarà in questo caso (0,706.0,024) = 0,016,dando quindi in conclusione come percentuale dei pallini non deviati il 30,9% con la solita approssimazione.
