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Abbiamo due carrucole alla stessa altezza distanti tra loro 1m. Nel punto medio della congiungente i centri delle carrucole abbiamo una massa che vale . Questa massa è collegata, mediante due fili che passano attorno alle carrucole, a altre due masse che valgono ciascuna.
In un certo istante la massa centrale viene lasciata cadere, finchè dopo un po' tocca una tavola posta 50 cm più in basso.
Calcolare la velocità con cui la massa da tocca la tavola. (trascurare gli attriti)

Il problema viene dal test di ammissione per la Superiore di Udine. Dato che non so se potrebbero chiedermi di correggerlo all'orale, sarebbe bello che qualcuno provasse a rispondere prima di martedì

Posto la mia soluzione

Sulla massa agisce durante il moto una tensione media . Costruisco il classico sistema di equazioni:



Nella posizione finale l'angolo , essendo parte di un triangolo rettangolo isoscele.

L'accelerazione del sistema è:



E dunque:

Ma sei sicuro della tua soluzione?
Secondo me l'accelerazione non è costante in tutta la discesa della massa grande, ma varia al variare dell'inclinazione del filo, perchè varia la componente verticale delle forze.
Quella che hai calcolato tu forse è l'accelerazione istantanea in quel punto.

Io l'ho fatto con la conservazione dell'energia meccanica.

Sull'asse verticale si sommano le componenti dirette verso l'alto della tensione del filo che agiscono sulla massa e si ottiene una forza risultante .
Poiché dipende dall'angolo , la forza è variabile e, come hai detto giustamente tu, lo è anche l'accelerazione.
Nella mia soluzione ho fatto questo ragionamento:
La tensione , agente su tutto il filo, è costante durante il moto.
Ciò che fa variare è il termine .
A questo punto svolgendo l'integrale:



- ho ottenuto la forza media (costante) che agisce verso l'alto sulla massa . Poiché a forze costanti corrispondono accelerazioni costanti, ho costruito il classico sistema, postato in precedenza.

Ok. Ho capito e sembra un ragionamento corretto. Solo che l'integrale non dovresti calcolarlo da 0 a ?

Io ho calcolato l'integrale da a ottenendo:



perché ho considerato solo metà del triangolo rettangolo grande e quindi soltanto una componente della tensione . Poi ho moltiplicato per due il risultato, dato che entrambe le componenti di dirette verso l'alto sono uguali (), giungendo così a:

Si, hai ragione. Giusto!

Solo un'ultima domanda: perchè se applico la conservazione dell'energia meccanica viene un risultato diverso?
Sbaglio a uguagliare l'energia meccanica della massa all'energia meccanica delle due masse ?

Iuppiter ha scritto:Sbaglio a uguagliare l'energia meccanica della massa all'energia meccanica delle due masse

Si non vedo perché dovresti farlo... la conservazione dell'energia ti dice che l'energia meccanica totale si conserva, non che si equipartisce tra le varie parti del sistema .

Comunque non mi convince la soluzione di Eagle con le "forze medie"... sinceramente non capisco perché il metodo dovrebbe essere valido.
Chiamo x il percorso fatto in un generico istante dalla massa 2m. Chiamo x' il rispettivo percorso delle due masse m. Chiamo 2D la distanza tra le due carrucole. Nella posizione iniziale, un tratto di lunghezza D di corda orizzontale tiene sospesa la massa 2m; dopo che questa faccia un percorso x, il tratto sarà lungo , e varrà ovviamente
.
Chiamo v la velocità della massa 2m e v' quella della massa m, ad un generico istante. Sarà
. All'inizio, la massa 2m si trova a distanza D dal tavolo.
L'equazione della conservazione dell'energia totale è (sia posta 0 l'energia potenziale iniziale delle due masse m, e sia h il dislivello iniziale tra la massa 2m e le due masse m)
, cioè



Ponendo x = D, sarà e
Sostituendo si ottiene



e sostituendo i valori numerici si ottiene se non ho preso cantonate con i calcoli.

La staffetta piange ( )

Chi ha risolto l'ultimo problema?? Gauss91 ??