Staffetta meccanica

[Luke]

Ci provo...

Chiamiamo l'angolo tra una retta verticale passante per il punto in cui cambia l'inclinazione e il segmento che va dallo stesso punto al centro del disco. Considerando l'intervallo di tempo tra il momento in cui la sfera arriva al punto e quello in cui finisce di compiere la rotazione supplementare di , perché il disco non si stacchi (come già detto) in ogni momento la forza centrifuga non deve superare la componente normale della forza peso. In ogni istante (nell'intervallo considerato) la velocità del centro di massa del disco è data da: (conservazione dell'energia) per cui deve valere per ogni angolo: . Il termine sotto radice diminuisce con l'incremento di (perlomeno fino a 90°) e quindi la condizione più "forte" si ha per ovvero: .
Nota: per maggiore di 60° il termine sotto radice diventa negativo.... non so se interpretare la cosa come impossibilità fisica che il disco rimanga attaccato alla superficie per quegli angoli (nel qual caso è cosa interessante peraltro...) o se semplicemente c'é qualche grossolano errore nel ragionamento.

[egl]

In ogni istante (nell'intervallo considerato) la velocità del centro di massa del disco è data da: (conservazione dell'energia)

Secondo me la velocità del centro di massa non è fornita da quell'equazione; nel momento in cui il cilindro pieno arriva sullo scalino, se non si stacca, è come se rimanesse "ancorato" sullo spigolo e penso che quella formula non sia appropriata.

Nota: per maggiore di 60° il termine sotto radice diventa negativo.... non so se interpretare la cosa come impossibilità fisica che il disco rimanga attaccato alla superficie per quegli angoli (nel qual caso è cosa interessante peraltro...) o se semplicemente c'é qualche grossolano errore nel ragionamento.

Sinceramente non ci avevo fatto caso... . Anche nel mio risultato risulta un limite del genere (anche se non dello stesso angolo). Proverò a pensarci un po'.

[Luke]

nel momento in cui il cilindro pieno arriva sullo scalino, se non si stacca, è come se rimanesse "ancorato" sullo spigolo e penso che quella formula non sia appropriata.

Quella formula deriva dal considerare che pur restando vincolato il cilindro una parte dell'energia potenziale del centro di massa si trasforma in energia cinetica, considerando che ruotando di un angolo intorno allo spigolo il c.d.m. si abbassa di , con conseguente apporto in velocità pari alla differenza di energia potenziale, ovvero: da cui la formula di sopra. Mi sembra di considerare il vincolo temporaneo dello spigolo, dove dici che è esattamente l'errore in questo tipo di ragionamento?

[Eagle]

Posto la mia soluzione, cercando di rispondere eventualmente anche alle richieste di Luke.
Quando il cilindro giunge sullo spigolo, avviene una rotazione del centro di massa intorno a tale punto:



Da cui:



Affinché il cilindro non si stacchi dal piano:



Di conseguenza:

[egl]

Penso che Eagle abbia capito cosa fare. Per trovare la velocità del centro di massa utilizzerei la conservazione dell'energia come . Posso ricavarmi e così grazie a la velocità del centro di massa, che mi sembra appunto venga diversa se seguo il ragionamento di Luke.

Da cui:

Il ragionamento penso sia esatto ma credo che tu abbia commesso un errore nello svolgimento.

[Eagle]

Sì, avevo commesso un errore di calcolo. Spero, stavolta, di postare la soluzione corretta:

[egl]

Sì, il risultato è quello.

Posto anche il mio metodo risolutivo, forse un pò diverso da quello di Eagle.

Il cilindro si avvicina allo scalino con velocità . Appena si accinge a ruotare attorno allo spigolo, considero un disco ancorato proprio attorno allo spigolo. Uso il teorema degli assi paralleli per calcolarmi il momento di inerzia di un disco ancorato in questo modo.

A questo punto impongo la conservazione dell'energia: il disco ha un' iniziale, la esprimo in funzione di . Mi calcolo così l' a rotazione avvenuta. Impongo trovandomi la velocità limite.

[Eagle]

Propongo questo problema di statica dei fluidi:

Si mette un bicchiere di massa e capacità , parzialmente pieno d'acqua, in una bacinella. Si comincia poi a versare acqua nella bacinella e si constata, sperimentalmente, che se il bicchiere è a metà pieno d'acqua galleggia, ma se contiene una quantità d'acqua maggiore della metà del suo volume, rimane appoggiato sul fondo fino a che l'acqua arriva al suo orlo superiore.
Qual è la densità del materiale di cui è fatto il bicchiere?

[Iuppiter]

Quando abbiamo che il bicchiere è pieno a metà e galleggia, il sistema è in equilibrio con le forze verso l'alto che compensano quelle verso il basso:

[Eagle]

Perfetto, vai col prossimo