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Il punto è che le onde arrivano dalla sorgente e non dalla sua proiezione.
Supponiamo dapprima che la sorgente (o meglio la sua proiezione) si avvicini.
Se la proiezione della sorgente sulla linea dell'osservatore è distante dall'osservatore stesso, la cresta d'onda sonora emessa in quella posizione dovrà percorrere una distanza per arrivare all'osservatore, e ci arriverà in un tempo .
La cresta d'onda immediatamente dopo viene emessa dopo un tempo . In tale tempo, la proiezione della sorgente sulla linea dell'osservatore (parallela alla traiettoria della sorgente) percorre un tratto e l'onda dovrà percorrere un tratto e ci impiega . Il lasso di tempo che intercorre tra le percezioni delle due onde sonore sarà il periodo percepito dell'onda emessa quando la proiezione della sorgente si trova a x_1 dall'osservatore.
Quindi e .
Si noti che al momento della percezione la proiezione della sorgente NON E' a distanza x_1 dall'osservatore, e la formula si riferisce alla posizione in cui l'onda è stata emessa.
Poi magari mi sbaglio io eh! In tal caso egl ha il prossimo problema.

Il periodo è da considerare molto piccolo (altrimenti non avrebbe molto senso di parlare di frequenza in funzione della distanza). Se tu lo consideri tale allora definendo (dove dT è il periodo) e lavorando un pò con i differenziali ti ritorna la formula trovata da egl. Probabilmente succede pure a te se fai tendere T molto piccolo.

Comunque, potresti essere più chiaro.
Non si capisce qual'è questa proiezione della sorgente di cui stai parlando: nè su cosa è la proiezione nè dove l'abbiamo usata nel nostro ragionamento.

Mirko93 ha scritto:Il periodo è da considerare molto piccolo (altrimenti non avrebbe molto senso di parlare di frequenza in funzione della distanza). Se tu lo consideri tale allora definendo (dove dT è il periodo) e lavorando un pò con i differenziali ti ritorna la formula trovata da egl. Probabilmente succede pure a te se fai tendere T molto piccolo.

Quoto.

Meta* ha scritto:

Mirko93 ha scritto:Il periodo è da considerare molto piccolo (altrimenti non avrebbe molto senso di parlare di frequenza in funzione della distanza). Se tu lo consideri tale allora definendo (dove dT è il periodo) e lavorando un pò con i differenziali ti ritorna la formula trovata da egl. Probabilmente succede pure a te se fai tendere T molto piccolo.

Quoto.

Quoto anch'io.
Considerando T molto piccolo e facendo le solite approssimazioni con lo sviluppo in serie esce la stessa identica formula di egl.
comunque io ho sempre considerato un fatto noto che solo la velocità radiale contribuisce all'effetto Doppler, anche se non conosco la dimostrazione formale.
sarebbe interessante vedere anche come varia la frequenza in funzione del tempo (in questo caso credo che si possa arbitrariamente porre t=0 per x=0)

Rigel ha scritto: sarebbe interessante vedere anche come varia la frequenza in funzione del tempo (in questo caso credo che si possa arbitrariamente porre t=0 per x=0)

In questo caso credo che basti imporre che sia . Procedendo analogamente si dovrebbe giungere a

che per dà

e per dà la formula per l'effetto Doppler senza modifiche. Sembra tornare tutto... bho, ditemi voi.

Ok sì effettivamente con T molto piccolo non ci sono differenze (@Rigel: non pensavo fosse un fatto noto, infatti non l'ho mai sentito! @Mirco: avevo precisato la proiezione nel mio secondo messaggio). Bene, avendo dimostrato la correttezza della soluzione, a egl va il prossimo problema.

Gauss91 ha scritto:avevo precisato la proiezione nel mio secondo messaggio

Scusami, non avevo letto

Propongo questo problema che racchiude un bel po' di argomenti:

Un cilindro pieno di massa e raggio rotola su un piano non inclinato con velocità . Incontra un piano inclinato di verso il basso. Determinare la massima tale che il cilindro non si stacchi dal piano.

Provo a rispondere.
Quando il cilindro arriva in prossimità del punto in cui inizia il piano inclinato, esso deve compiere una rotazione attorno a questo punto. Affinche il cilindro non si stacchi la forza centrifuga deve essere minore o uguale alla componente normale del peso che schiaccia il cilindro sulla superficie del piano inclinato (che è minore quando il cilindro ha completato la rotazione attorno al punto, e quindi la calcoliamo quando il segmento che unisce il centro del cilindro e il punto attorno al quale il cilindro ruota è perpendicolare al piano inclianato).




da cui ricavo che:


Quindi la velocità massima possibile per il cilindro è

Le considerazioni sulla rotazione attorno a quel punto sono corrette.
Nella formula che usi, però, stai considerando che la velocità sia sempre la stessa, cioè sia prima che dopo che il cilindro abbia ruotato un pò... Il risultato non è corretto.