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Supponiamo di avere un corpo totalmente immerso in un liquido di densità .
Poniamoci in un sistema di riferimento tridimensionale con il piano xy situato sulla superficie del liquido e l'asse z diretto verso il fondo della vasca. Chiamiamo S la proiezione del corpo sul piano xy. Il corpo avrà in ogni punto uno spessore funzione del punto (x,y).
Pensiamo di affettare il corpo in minuscoli prismi aventi per proiezione di base il quadrilatero dxdy.
Detta p(z) la pressione a profondità z, ognuno di questi prismi sentirà una spinta verticale pari a (il verso positivo della forza è assunto verso l'alto, ovvero come -z) :



ovvero pari alla superficie della proiezione delle basi sul piano xy moltiplicata per la differenza di pressione sulle due basi.
Sommando sull'intera superficie S si ha:



Osservando che il volume del corpo si può calcolare come



si ottiene



dove M è la massa del liquido avente volume pari al volume del corpo.

Si, avevo usato un metodo analogo!
Falco5x può mettere il prossimo problema!

Dal momento che la staffetta non procede chiedo il permesso di mandarla avanti
Problema:
Per il sistema in figura, in cui le carrucole girano senza attrito (e la molla non è presente), calcolare l’accelerazione a del corpo 1
Successivamente il corpo 1 viene collegato al pavimento mediante una molla di Hooke (punteggiata in figura) di rigidezza K. Tenendo presente il risultato precedente scrivere la pulsazione del sistema, dettagliando i passaggi.

PUNTO 1

Diamo un po' di premesse:
Sia a' l'accelerazione del filo, che ovviamente accelererà solo nella parte compresa tra i corpi 2 e 4. Poniamo che l'accelerazione e le forze che agiscono lungo il filo siano POSITIVE se puntano lungo la direzione corpo 4 - soffitto, negative se puntano lungo la direzione soffitto - corpo 4.
Sia invece a l'accelerazione del corpo 1, positiva se punta verso il basso, negativa verso l'alto.
Sia l'angolo che la parte di filo tra il corpo 3 e il corpo 4 forma con la verticale.

Siano in particolare: la tensione che agisce tra il corpo 2 e il soffitto; quella tra il corpo 2 e il corpo 3; quella tra il corpo 3 e il corpo 4. Sia la tensione che agisce tra il corpo 1 e il corpo 2. (Penso non ci siano problemi sull'identificazione dei corpi).
Ricordiamo che il momento di inerzia di un disco riferito al suo asse è
Applichiamo ora la seconda legge di Newton separatamente ai 4 corpi.

Su 4, applichiamo la conservazione dell'energia totale:
, ed essendo e , si ha


Su 3
e , da cui
.

Su 2
e ancora , da cui


Sempre su 2, è

Su 1, è

Inoltre, è , perché in ogni istante la velocità del centro di massa del corpo 2 è la metà della sua velocità tangenziale. Operando le dovute sostituzioni si ottiene

.
In linea di principio non si può ricavare , che dipende dalla distanza del corpo 4 dal 3, ma se il filo è abbastanza lungo e se la differenza R_4 - R_3 non è troppo grande si può porre .

PUNTO 2

D'ora in avanti si approssimerà theta al complementare di beta.
Supponiamo che a > 0, cioè che il corpo 1 vada verso il basso (il caso a < 0 è perfettamente speculare e la pulsazione sarà identica)
Supponiamo che la molla non sia in tensione al momento della connessione. Allora si comprimerà di un tratto tale che, per la conservazione dell'energia totale del sistema, sarà

, da cui


Il corpo 1 non può andare più in alto di quando è stato collegato alla molla, perché nessuna energia è fornita al sistema. Quindi, il punto di equilibrio si troverà ad una distanza dal punto in cui il corpo 1 si trovava quando è stato connesso alla molla. Il moto è quindi armonico semplice con ampiezza x_0, e prendendo come punto di inizio del moto armonico l'istante della connessione, l'equazione di questo moto diventa

, da cui
. In più, a(0) = -a (il meno è necessario perché qualora x_0 fosse positivo, a deve essere negativo), e sostituendo si ottiene

.

Esattamente Avanti col prossimo.

Premessa: siamo sulla Terra .
Una sorgente sonora di frequenza propria viaggia di moto rettilineo uniforme, a velocità . Un osservatore, fermo, è posto a distanza dalla traiettoria della sorgente, e la frequenza che gli arriva è modificata dall'effetto Doppler. Dare una formula che permetta di trovare la frequenza udita dall'osservatore, in funzione della posizione della sorgente e della sua frequenza propria.

Spero di non travisare la richiesta di Gauss91 :

sia la distanza fra la mia proiezione sulla traiettoria e la sorgente e sia l'angolo che forma con la traiettoria la congiungente persona-sorgente. Vale . La velocità "utile" è la componente nella direzione della persona . Con alcuni passaggi mi ricavo che .

Utilizzo la formula .

egl ha scritto:La velocità "utile" è la componente nella direzione della persona

E perché? Magari è vero ma se me lo dimostrassi sarebbe meglio...

egl ha scritto:Utilizzo la formula ...

Attento: quella formula vale se l'osservatore è sulla traiettoria della sorgente... e non mi sembra così chiaro il fatto che una sorgente non in linea con l'osservatore possa essere trattata alla stregua di una sorgente che si muove sulla sua proiezione sulla parallela alla sua traiettoria passante per l'osservatore... Il fronte d'onda è comlpetamente diverso. Comunque magari è vero eh, ma a me viene un risultato parecchio diverso.

Forse mi sbaglio ma poichè la formula dell'effetto Doppler vale solo per osservatori sulla traiettoria della sorgente, ho pensato che in un intervallo di tempo molto piccolo la velocità della sorgente verso l'osservatore può ritenersi costante e di valore . L'angolo cambia con il tempo sempre più velocemente verso e quindi anche la frequenza percepita che tende a . Bho...

A me viene una formula uguale a quella di egl. Per cui provo a rispondere io alle domande di Gauss91.

Per dimostrare il fatto che la velocità ''utile'' è quella nella direzione della persona, basta scomporre la velocità della sorgente in componenti radiale e tangenziale rispetta all'osservatore. La componente tangenziale ha ovviamente un contributo nullo (se la sorgente gira in un cerchio intorno all'osservatore la variazione di frequenza è nulla), mentre invece la componente radiale crea un'effetto doppler pari a quello che avrebbe se la sorgente andrebbe dritta per dritta verso l'osservatore con quella velocità, e quindi si può usare la formula usata anche da egl.

Magari se ci dici la tua formula risolutiva possiamo capire meglio le differenze fra il nostro approccio e il tuo.