PUNTO 1
Diamo un po' di premesse:
Sia a' l'accelerazione del filo, che ovviamente accelererà solo nella parte compresa tra i corpi 2 e 4. Poniamo che l'accelerazione e le forze che agiscono lungo il filo siano POSITIVE se puntano lungo la direzione corpo 4 - soffitto, negative se puntano lungo la direzione soffitto - corpo 4.
Sia invece a l'accelerazione del corpo 1, positiva se punta verso il basso, negativa verso l'alto.
Sia
l'angolo che la parte di filo tra il corpo 3 e il corpo 4 forma con la verticale.
Siano in particolare:
la tensione che agisce tra il corpo 2 e il soffitto;
quella tra il corpo 2 e il corpo 3;
quella tra il corpo 3 e il corpo 4. Sia
la tensione che agisce tra il corpo 1 e il corpo 2. (Penso non ci siano problemi sull'identificazione dei corpi).
Ricordiamo che il momento di inerzia di un disco riferito al suo asse è
Applichiamo ora la seconda legge di Newton separatamente ai 4 corpi.
Su 4, applichiamo la conservazione dell'energia totale:
, ed essendo
e
, si ha
Su 3
R_3 = I_3\alpha_3)
e
, da cui
a')
.
Su 2
R_2 = I_2\alpha_2)
e ancora
, da cui
a')
Sempre su 2, è
Su 1, è
Inoltre, è
, perché in ogni istante la velocità del centro di massa del corpo 2 è la metà della sua velocità tangenziale. Operando le dovute sostituzioni si ottiene
.
In linea di principio non si può ricavare
, che dipende dalla distanza del corpo 4 dal 3, ma se il filo è abbastanza lungo e se la differenza R_4 - R_3 non è troppo grande si può porre
.
PUNTO 2
D'ora in avanti si approssimerà theta al complementare di beta.
Supponiamo che a > 0, cioè che il corpo 1 vada verso il basso (il caso a < 0 è perfettamente speculare e la pulsazione sarà identica)
Supponiamo che la molla non sia in tensione al momento della connessione. Allora si comprimerà di un tratto
tale che, per la conservazione dell'energia totale del sistema, sarà
^2 = (M_1 + M_2)g\Delta x - 2M_4g\Delta x \sin\beta)
, da cui
 - 4M_4\sin\beta}{K}g)
Il corpo 1 non può andare più in alto di quando è stato collegato alla molla, perché nessuna energia è fornita al sistema. Quindi, il punto di equilibrio si troverà ad una distanza
dal punto in cui il corpo 1 si trovava quando è stato connesso alla molla. Il moto è quindi armonico semplice con ampiezza x_0, e prendendo come punto di inizio del moto armonico l'istante della connessione, l'equazione di questo moto diventa
 = x_0 \cos\omega t)
, da cui
 = -\omega^2 x_0 \cos\omega t)
. In più, a(0) = -a (il meno è necessario perché qualora x_0 fosse positivo, a deve essere negativo), e sostituendo si ottiene
.
Avanti col prossimo.
.
: