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Imposto un sistema di coordinate curvilineo, che segua il filo pendente e l'asta verticale con m.

Le forze su M sono:
, mentre su m sono:
.
Combinando le due equazioni e facendo un po' di manovre si arriva alla formula:
.
All'equilibrio sia su M che su m non ci devono essere forze nette per cui:
e
, da cui si arriva a:
.
Da questo si osserva che l'equilibrio si può raggiungere solo se m<M.

Quando M è al punto minimo dista dal soffitto una distanza pari a:
, mentre il punto minimo raggiunto da m dista dal soffitto
.
Essendo , si pono un nuovo sistema di riferimento ortogonale sulla situazione, ponendo il livello 0 in corrispondenza della posizione più bassa per m, dunque l'altezza del soffitto in questo sistema è .
L'energia potenziale del corpo m è:
.
Per calcolare l'altezza si procede così (guardare la figura per maggiore chiarezza):
;

.
Quindi l'energia potenziale di M in funzione dell'altezza di m è:
.
L'energia potenziale del sistema è:
,
la cui derivata è:
.
Ponendo
e
.
Si trova un massimo per
, mentre il minimo della funzione è fuori dall'intervallo di definizione, che è .
Bisogna dimostrare che tale ordinata corrisponde all'angolo dell'equilibrio prima calcolato.
Per far questo si nota che
e
, mentre la distanza prima indicata come
è definita anche come:
.
Sostituendo si arriva a
e quindi si ha:
.
Così si dimostra che i due risultati su e indicano la stessa situazione di equilibrio.
Inoltra dato che tale configurazione si verifica in corrispondenza di un massimo di Ut, si osserva che tale equilibrio è instabile.

PS: Con questo post la nostra staffetta meccanica raggiunge la fatidica soglia dei 100 messaggi!!!

Allora la tensione è giusta, l'angolo di equilibrio giusto.
Per l'energia potenziale avevo suggerito , la funzione viene molto più snella e lo studio molto più semplice. Un altro appunto: l'energia potenziale cambiando l'altezza da cui si calcola cambia al più per una costante che per lo studio dei massimi e minimi è ininfluente, sinceramente a me viene punto di equilibrio stabile, non capisco come hai trovato che il punto sia di massimo hai posto:

Cioè che la derivata della funzione sia 0 nel punto e sia positiva nello stesso punto?
Dovrei rifare i calcoli, ma fare una derivata di una doppia radice e studiare il segno(o derivarla un'altra volta), mi prenderebbe troppo tempo.

Ho commesso un'errore nella scrittura della formula in LaTeX:
per calcolare il massimo o il minimo o il flesso a tangente orizzontale (insomma i punti stazionari) di una funzione bisogna mettere la sua derivata prima uguale a 0 e poi maggiore di 0:
.
Purtroppo non ho messo attenzione alla richiesta di , ma è evidente dalla dimostrazione che ho dato per che il risultato è corretto.
Quanto al tipo di equilibrio, lo studio della funzione mi dà un massimo in corrispondenza dell'ordinata/angolo dell'equilibrio, perciò l'equilibrio mi risulta instabile. Comunque riprovo a costruire e fare i conti in questo secondo modo, ma osservando la situazione da un punto di vista puramente fisico, mi sembra intuitivo che non appena m si sposta un po' sopra o un po' sotto la sua posizione di quiete, si muove senza tornare alla condizione iniziale. Comunque quest'aspetto merita un ulteriore approfondimento.

Scusa hai scritto:

per i punti o studi il segno della derivata prima, deve essere maggiore di 0 prima del punto stazionario e successivamente negativa per avere un punto di massimo; oppure studi la derivata seconda nel punto stazionario se è positiva abbiamo un punto di minimo, un punto di massimo se negativa.

Scusate, ma siete sicuri della formula per trovata da Stardust?
Guardandola al volo mi pare che toppi in (quando il filo è orizzontale): messa così viene una tensione infinita, mentre ad occhio direi che dovrebbe essere Mg in quanto l'accelerazione di M è nulla in quell'istante.

1) Poiché il sistema non è in moto sull'asse orizzontale , consideriamo soltanto l'asse verticale



Svolgendo il sistema:



Analizziamo i casi estremi:

Cerco di rispondere in ordine e spero di dire cose corrette:

*Spn Dici che il nella posizione l'accelerazione della massa M è nulla? Quindi è una posizione di equilibrio: essendo vincolati geometricamente entrambe le masse hanno accelerazione nulla e quindi se li mettiamo a riposo in quel punto non si muovono.

*Eagle nel tuo sistema le accelerazioni delle masse sono uguali, sei sicuro: per uno spostamento dl della massa grande la massa piccola si sposta di uno stesso spazio dl, o è solo il filo che le collega e quindi l'ipotenusa che aumenta di una quantità dl?

No Miralansa, non è in una situazione di equilibrio: m si muove. Non è vero che se l'accelerazione di M è nulla allora lo è anche quella di m. I due corpi sono vincolati ad avere solo la componente parallela al filo uguale per entrambi, ma quella perpendicolare può essere benissimo diversa. In infatti M ha accelerazione nulla, ma m ha un'accelerazione pari a g (in quanto la tensione del filo e la forza peso di m sono perpendicolari tra loro, e la reazione del vincolo non consente a M di muoversi), percui non dovrebbe andare bene neanche la soluzione di Eagle.

Fatti i conti mi viene:



Inoltre sono anche abbastanza certo sul fatto che l'equilibrio con è stabile, visto che con su m agisce una forza diretta verso l'alto, e viceversa con .

Scusa spn puoi postare il sistema iniziale e le considerazioni da cui hai ricavato la formula?

Ecco qua:


Da cui si arriva a quella formula.
La prima eq. è dovuta al fatto che l'accelerazione di M è pari alla componente parallela al filo di quella di m, le alre sono solo le forze agenti sulle due masse.
Non vi convince qualcosa?