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Quel che intendevo dire è che l'unica variabile a cui è stato assegnato un nome è e quindi il risultato era da esprimere solo in termini di .

Che il moto nel caso cubico sia sulla diagonale per forza peraltro non ne sono affatto sicuro. Non credo la gravità sia sempre diretta verso il centro del cubo e quindi si potrebbe finire in un vertice anche partendo da fuori dalla diagonale. Comunque non è importante per risolvere il problema.

Scusa Torros non capisco perché si può scrivere Grazie

Provo a spiegarmi meglio, ho saltato qualche passaggio.
Credo sia chiaro che:



Ma e dunque:



Dal secondo messaggio che ho scritto dopo il suggerimento di Pigkappa, ho trovato la relazione:



Ho dunque sostituito sotto la radice con .

Grazie Pigkappa per le delucidazioni, nei prossimi giorni mi metto e provo a risolvere il caso del cubo.

Grazie Torros. Quel commento di Pigkappa "perfetto" è allora riferito alla simmetria sferica se affronterai il caso del cubo come del resto tenterò anch'io.

WLOG, siano il lato e la massa del cubo di antimateria. Indichiamo con il potenziale gravitazionale, e sia il suo valore al centro di un cubo di lato , il suo valore su un vertice dello stesso cubo. L'energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa sarà quindi
Come già spiegato da @Torros e @Higgs, l'energia totale del corpo è sempre zero, quindi, indicando con la sua velocità quando passa per il centro del cubo, si avrà
, da cui .
Ci basta quindi trovare il valore di in funzione di . Il potenziale sul vertice del cubo sarà pari a , dove è una costante adimensionale che dipende soltanto dalla geometria del cubo e non dalle sue dimensioni. Un cubo con la stessa densità ma lato avrà massa pari a , quindi il potenziale sul suo vertice varrà .

Immaginiamo di dividere il cubo originale di lato in 8 cubetti di lato : per il principio di sovrapposizione, il potenziale al centro sarà pari alla somma dei potenziali dei singoli cubetti in tale punto; ma questo coincide con un vertice di ciascuno dei cubetti, quindi

.

Da ciò segue che

Giusto.

Staffetta a DeoGratias, se gli altri hanno dubbi ovviamente chiedano

DeoGratias ha scritto: ↑

15 mag 2023, 23:16

Il potenziale sul vertice del cubo sarà pari a , dove è una costante adimensionale che dipende soltanto dalla geometria del cubo e non dalle sue dimensioni.

Non riesco a dimostrare che ciò sia vero. Mi potreste spiegare? Grazie!

Una analogia e' quella del momento di inerzia rispetto ad un asse, scritto come integrale sul volume dove e' la distanza dall'asse, spero sia chiara la notazione.
Il momento di inerzia di una particella a distanza dall'asse e' . Se prendi quella massa e la distribuisci in un disco attorno all'asse di raggio , diventa . Se invece la distribuisci a forma di asta diventa , se la distribuisci ad anello e' come nel primo caso, e cosi' via. Evidentemente, quando fai l'integrale, ti verra' sempre un coefficiente per .

La stessa cosa vale per il potenziale al vertice di un cubo gravitazionale - evidentemente verra' un risultato proporzionale a per una qualche costante. Esplicito il conto. Il potenziale in un punto e' la somma dei potenziali dovuti a ogni elemento di massa, ovvero .

Se il cubo ha un vertice il (0,0,0), quello opposto in (L,L,L) e calcolo il potenziale nel primo vertice:

Estraendo dall'integrale e facendo cambi di variabili per togliere dagli estremi di integrazione:

Usando :

Quell'integrale 3-dimensionale che ho raccolto in parentesi e' il coefficiente numerico. Fortunatamente per questo problema non serviva calcolarlo esplicitamente perche' alla fine si semplificava nel risultato finale. Mathematica mi dice che l'integrale fa ma non lo saprei fare a mano.

Tutto chiaro, grazie mille!