269. Oscillazioni elettriche

[Luca Milanese]

Se consideri inalterata la distribuzione di cariche approssimi troppo e trovi un momento torcente nullo. Puoi usare che il campo elettrico di ciascun dipolo sull'altra sfera sia molto debole per sommarne semplicemente l'effetto a quello del campo (cioè, trova la correzione a e usala per calcolare il momento torcente).

[DeoGratias]

Ho fatto un primo tentativo di trovare la correzione nell'ipotesi che, visto che , il campo generato da una sfera possa essere considerato come pressoché costante all'interno dell'altra, prendendo come valore di riferimento quello al centro della sfera, e che, per simmetria, il vettore correzione sia lo stesso per entrambe le sfere. In questo modo posso trovare la correzione nel modo in cui ho trovato prima, quindi otterrei un'equazione vettoriale che posso risolvere ottenendo le componenti perpendicolare a e , perpendicolare a quella su x. Da qui potrei calcolare , dove nel calcolo ci interessa soltanto la componente x della correzione del momento dipolare. In questo modo otterrei un moto armonico per angoli piccoli. Non sono sicuro che l'approssimazione sia correttamente giustificata, però non abbiamo ancora utilizzato il fatto che le sfere siano molto distanti e non saprei come calcolare la carica indotta quando il campo interno alla sfera non è costante (il trucco delle due sfere sovrapposte non penso funzionerebbe, visto che la densità non può essere più costante)

[Luca Milanese]

L'approccio che descrivi è corretto. Puoi approssimare il campo di ciascuna sfera all'interno dell'altra come uniforme perchè, come avrai notato, esso è proporzionale a , quindi puoi trascurare che varii da a nell'ipotesi . Adesso posta pure i tuoi conti

[DeoGratias]

E conti siano
Poniamo un sdr cartesiano con centro in una delle due sfere, con asse y parallelo al campo esterno. Supponiamo che l'asta sia inclinata di un angolo rispetto alla verticale. Si avrà





Il campo generato da un dipolo è

Dove

Da quanto visto prima, il momento dipolare indotto da questo campo sull'altra sfera sarà


Scomponendo e utilizzando l'ultima relazione, ottengo
(1)

I prodotti scalari sono rispettivamente



Considerando la componente x della (1) e ponendo per brevità , dopo un po' di conti si ottiene


Considerando la componente y della (1), con conti simili si ottiene


Risolvendo per la componente x della variazione, un sacco di roba si semplifica e si ottiene (se non ho sbagliato i conti)


Il momento torcente di richiamo è quindi
Visto che , risolvendo per il periodo nota l'equazione del moto armonico otterrei

[Luca Milanese]

Penso che tu abbia perso un verso la fine, il risultato dovrebbe venirti . Nota inoltre che , per cui puoi anche scrivere e , quindi , ma sono dettagli. Il procedimento è corretto, avanti con la staffetta.
Il problema è tratto dalla Physics Cup del 2020.

[DeoGratias]

Penso che tu abbia perso un verso la fine, il risultato dovrebbe venirti .

Sì è vero, adesso dovrei aver corretto il messaggio

Una domanda per concludere: se avessi dipoli vincolati a ruotare attorno a un asse comune (con aste inestensibili ecc. l'asse passa per il cdm) e il campo esterno non fosse uniforme, ponendo l'origine nel cdm avrei lo stesso ?

[Luca Milanese]

No, perchè, se il campo esterno non è uniforme, allora in generale eserciterà una forza non nulla su ciascun dipolo, e di conseguenza il momento torcente agente su ciascun dipolo rispetto all'origine sarà . Il fatto che il campo eserciti una forza può esser ricavato vedendo ciascun dipolo come due cariche puntiformi separate da una distanza . Chiaramente la forza netta sarà , e in generale se il campo è disuniforme.