Provo a rispondere alle domande che mancano (la 1 e la 6 le ho risolte come matteofisica)
2)Scegliamo un s.d.r. con asse delle x perpendicolare al piano orizzontale con origine in O. Il momento d'inerzia
è la somma dei momenti d'inerzia infinitesimi di piani orizzontali paralleli al piano orizzontale, di lati
(la lunghezza del semicilindro di partenza),
e
)
. La loro massa è data da
dx)
.
è dato da
^2)})
, quindi, per il teorema di Huygens-Steiner, il momento d'inerzia totale è dato da
 =\rho L(\frac{2}{3}\int_{0}^{R}(2Rx-x^2)^\frac{3}{2}dx+2\int_{0}^{R}x^2\sqrt{2Rx-x^2}dx))
Con un po' di calcoli (se è necessario li inserisco, ma sono abbastanza lunghi), ricordando che
, si giunge a
)
3) Nell'istante esatto dello scontro, l'impulso dovuto alla forza di gravità tende a zero, quindi il momento angolare del sistema rispetto a O si conserva.
Per la conservazione dell'energia, la particella si scontra col cilindro a una velocità
. La conservazione del momento angolare implica che
))
, dove
è il momento di inerzia della particella rispetto ad O al momento dello scontro. Raccogliendo
, troviamo
)})
4) Dal momento dell'urto in poi, l'energia meccanica si conserva. Quando la particella viene lanciata dall'altezza minima, il semicilindro ruota di 90° fino a fermarsi. Posto
per un oggetto sul piano, l'energia cinetica iniziale è data da
w_{0}^{2}=\frac{mgh}{2+\mu (\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi })})
; l'energia potenziale iniziale è
))
; se l'altezza di partenza è minima,
, ed
; uguagliando le due espressioni e risolvendo per
, otteniamo
(2+\mu(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})) = 1.080m)
5) Ancora non ho idee
7) Chiamiamo
l'angolo tra la retta
e la verticale; il momento torcente risultante, attorno al punto di equilibrio
, è dato da
 =gR(\frac{4M}{3\pi}sin(\alpha-\beta) -mcos(\alpha-\beta)))
, dove ho posto
. Visto che
(è l'angolo delle piccole oscillazioni), usando le formule per seno e coseno, ponendo
,
e ricordando che quando
si ha
, trovo
\beta=I_{o'}\ddot{\beta})
Per trovare
, usiamo ancora Huygens-Steiner; prima troviamo il momento di inerzia per il cilindro, troviamo
a partire da
trovato in precedenza, ottenendo
^2=MR^2(\frac{1}{2}-\frac{16}{9\pi^2}))
; poi, utilizzando Carnot per trovare la distanza tra O' e il centro di massa, applicando di nuovo H-S troviamo
)
; calcoliamo poi quello per la particella, sempre applicando Carnot, che risulta essere
)
. Sommando i due momenti di inerzia, troviamo l'equazione delle piccole oscillazioni:
\beta=R(1-sin\alpha+\mu(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi}cos\alpha)\ddot{\beta})
Da questa, troviamo che la pulsazione è
}{R(1-sin\alpha+\mu(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi}cos\alpha))}})
, circa
