261. Semicilindro su un piano

[matteofisica]

È vero! Me ne ero totalmente dimenticato! Inizio a vedere un po' come fare e domani cerco di risolvere

[DeoGratias]

Provo a rispondere alle domande che mancano (la 1 e la 6 le ho risolte come matteofisica)

2)Scegliamo un s.d.r. con asse delle x perpendicolare al piano orizzontale con origine in O. Il momento d'inerzia è la somma dei momenti d'inerzia infinitesimi di piani orizzontali paralleli al piano orizzontale, di lati (la lunghezza del semicilindro di partenza), e . La loro massa è data da . è dato da , quindi, per il teorema di Huygens-Steiner, il momento d'inerzia totale è dato da

Con un po' di calcoli (se è necessario li inserisco, ma sono abbastanza lunghi), ricordando che , si giunge a

3) Nell'istante esatto dello scontro, l'impulso dovuto alla forza di gravità tende a zero, quindi il momento angolare del sistema rispetto a O si conserva.
Per la conservazione dell'energia, la particella si scontra col cilindro a una velocità . La conservazione del momento angolare implica che , dove è il momento di inerzia della particella rispetto ad O al momento dello scontro. Raccogliendo , troviamo

4) Dal momento dell'urto in poi, l'energia meccanica si conserva. Quando la particella viene lanciata dall'altezza minima, il semicilindro ruota di 90° fino a fermarsi. Posto per un oggetto sul piano, l'energia cinetica iniziale è data da ; l'energia potenziale iniziale è ; se l'altezza di partenza è minima, , ed ; uguagliando le due espressioni e risolvendo per , otteniamo

5) Ancora non ho idee

7) Chiamiamo l'angolo tra la retta e la verticale; il momento torcente risultante, attorno al punto di equilibrio , è dato da , dove ho posto . Visto che (è l'angolo delle piccole oscillazioni), usando le formule per seno e coseno, ponendo , e ricordando che quando si ha , trovo
Per trovare , usiamo ancora Huygens-Steiner; prima troviamo il momento di inerzia per il cilindro, troviamo a partire da trovato in precedenza, ottenendo ; poi, utilizzando Carnot per trovare la distanza tra O' e il centro di massa, applicando di nuovo H-S troviamo ; calcoliamo poi quello per la particella, sempre applicando Carnot, che risulta essere . Sommando i due momenti di inerzia, troviamo l'equazione delle piccole oscillazioni:

Da questa, troviamo che la pulsazione è , circa

[matteofisica]

Per quanto riguarda il 5, la condizione che ci sia rotolamento puro è che la velocità del punto di contatto sia 0, dunque deve essere:
, dove è l'accelerazione del centro di massa e è l'accelerazione angolare.
La prima la si può trovare applicando , dove F è la forza di attrito.
Poi si scrive la somma dei momenti, che è uguale a , dove è il momento d'inerzia ottenuto tenendo conto anche della pallina e il braccio rispetto al centro di massa del sistema semicilindro-pallina.
Moltiplicando entrambi i membri dell'ultima equazione scritta per R e portando al denominatore si ottiene .
Poi si uguagliano le due espressioni e dovrebbe venire:



e dunque .

Da qui si dovrebbe ricavare facilmente k usando la formula.
Se il procedimento è corretto, posso procedere con i calcoli.

[Pigkappa]

Provo a rispondere alle domande che mancano (la 1 e la 6 le ho risolte come matteofisica)
[...]

Il 2) OK ma c'e' un modo alternativo per non fare integrali
Il 3) OK
Il 4) circa OK, ma per certi valori di avrebbe senso spiegare che la formula non vale piu'
Il 7) mi viene leggermente diverso, possibile che nel calcolare il momento di inerzia totale, ti sei scordato un fattore 2 nel momento d'inerzia della particella?

[Pigkappa]

Per quanto riguarda il 5, la condizione che ci sia rotolamento puro è che la velocità del punto di contatto sia 0, dunque deve essere:
, dove è l'accelerazione del centro di massa e è l'accelerazione angolare.
La prima la si può trovare applicando , dove F è la forza di attrito.
Poi si scrive la somma dei momenti, che è uguale a , dove è il momento d'inerzia ottenuto tenendo conto anche della pallina e il braccio rispetto al centro di massa del sistema semicilindro-pallina.
Moltiplicando entrambi i membri dell'ultima equazione scritta per R e portando al denominatore si ottiene .
Poi si uguagliano le due espressioni e dovrebbe venire:



e dunque .

Da qui si dovrebbe ricavare facilmente k usando la formula.
Se il procedimento è corretto, posso procedere con i calcoli.

Non sono sicuro di aver capito e non e' il metodo che ho usato io, ma il risultato non e' enormemente complicato, fai i calcoli che intendi fare e vediamo cosa viene

Sbaglio o questa cosa e' sbagliata dimensionalmente?

Nota che la domanda chiede il minimo coefficiente di attrito perche' non ci sia strisciamento durante l'urto, non in tutto il moto in generale.

[DeoGratias]

Il 2) OK ma c'e' un modo alternativo per non fare integrali
Il 3) OK
Il 4) circa OK, ma per certi valori di avrebbe senso spiegare che la formula non vale piu'
Il 7) mi viene leggermente diverso, possibile che nel calcolare il momento di inerzia totale, ti sei scordato un fattore 2 nel momento d'inerzia della particella?

Per il 4), per , quindi quando il cilindro è troppo leggero rispetto alla particella, la formula dà un'altezza negativa, poiché ho imposto che l'energia cinetica finale sia zero quando il cilindro è inclinato di 90 gradi; significa che, da qualunque altezza io lanci la particella, è talmente pesante che il semicilindro non può fermarsi in quella posizione, ma deve per forza continuare a ruotare fino a ribaltarsi completamente. Non possiamo accettare l'altezza negativa come soluzione di quell'equazione perché vorrebbe dire che la particella parte a una distanza dal piano. Ciò significa però che il semicilindro deve essere inclinato e non orizzontale, visto che la part. è agganciata sul suo spigolo, quindi la sua energia potenziale dovrà essere calcolata considerando lo spostamento verso il basso del suo cdm, mentre nella formula che ho usato si suppone che il semicilindro sia orizzontale. Comunque possiamo risolvere, in funzione di abbastanza piccolo, per la distanza dal piano da cui serve lasciar partire la particella, ferma e già attaccata al cilindro, affinché questo si fermi quando è inclinato di 90°.

Per il 7) è vero, la pulsazione corretta è

Per il 2), consideriamo il momento d'inerzia di un cilindro di massa rispetto a un asse a distanza dal suo cdm; possiamo esprimerlo anche come somma dei momenti d'inerzia di 2 semicilindri di massa : applicando H-S, ottengo

Risolvendo per ottengo , e da qui applicando ancora H-S trovo il momento d'inerzia rispetto a O trovato in 2)

[matteofisica]

Avrei svolto i calcoli per la forza di attrito, che mi viene .
Non penso proprio che sia corretto, perché il risultato mi viene in , che non è decisamente l'unità di misura di una forza...
Domani provo a vedere cosa non quadra nel ragionamento

[Pigkappa]

Diciamo che l'urto e' "instantaneo", ma in realta questa e' una approssimazione, quel che vogliamo dire e' che dura un tempo molto piccolo. La maggior parte delle quantita' di interesse in un urto si possono calcolare senza sapere , ma questo non e' vero per quanto riguarda la forza nell'urto (da cui dipende la forza d'attrito in questo problema): la forza nell'urto dipende da . Peraltro non e' assolutamente detto che questa forza sia costante nel tempo , plausibilmente e' piu' piccola all'inizio dell'urto, raggiunge un punto massimo e poi ritorna a zero, in un modo non ovvio.

Quel che sto cercando di dire e' che non si puo' calcolare esattamente la forza d'attrito durante l'urto. Devi cercare un modo per aggirarla...

[matteofisica]

Dovrei trovare quindi la forza media o determinare uno di quei parametri che non dipendono dal piccolo intervallo di tempo e da lì dedurre la forza di attrito?

[Pigkappa]

Più o meno, sì. Non troverai un valore numerico per la forza media perché dipende da delta t. Ma alla fine per il coefficiente di attrito delta t si semplifica...