Forum OLIFIS

Ho smesso di pensare alla questione che come era chiaro non serviva alla soluzione. Riprendo il mio discorso dal post precedente. Sviluppando in serie $\rho(z)$ intorno a $z_0$ risulta allora $\rho(z)\simeq \rho(z_0) [1-(\mu.g/RT_0)(z-z_0)]$ . In $z_0$ la condizione di equilibrio (stabile) impone, come ho detto nel precedente post, che la spinta di Archimede uguagli il peso della celletta cioè $\rho(z_0)vg = mg$ dove v è il volume della celletta ed m la sua massa. Pertanto applicando la seconda legge intorno a $z_0$ risulta $m. [d^2(z-z_0)/dt^2] = [\rho(z).vg - mg] (z-z_0)= -(m \mu g^2/RT_0)(z-z_0)$ eliminando +mg con -mg. Dividendo per m e portando al primo membro si ottiene l'equazione di un moto armonico intorno a $z_0$ cioè $[d^2(z-z_0)/dt^2] + (\mu.g^2/RT_0)(z-z_0)$ . Da questa mi risulterebbe $\omega = g \sqrt{\frac{\mu.}{RT_0}}$ e dunque $T= \frac{2\pi}{\omega}= \frac{2\pi}{g}.\sqrt{\frac{RT_0}{\mu}}$ . Ma i miei conti a prescindere dal procedimento...

Hai assunto che il volume della cella rimanga costante nelle sue oscillazioni, sei sicuro che ciò possa consistere col suo isolamento termico?

Infatti ho compiuto un errore di calcolo ma forse anche di concetto. Avevo pensato che $V(z_0)=m/\rho(z_0)$ e $V(z)=m/\rho(z)$ per cui da $T_0.V(z_0)^{\gamma-1}= TV(z)^{\gamma-1}$ avevo dedotto $T=T_0$ e $V(z)=V(z_0)$ poichè pensavo che praticamente $\rho(z)\simeq \rho(z_0)$ . Però se non è così non so per ora come fare.

L'errore sta nel fatto che, mentre la cella si sposta, la sua densità non è la stessa dell'atmosfera alla stessa quota (tranne ovviamente in $z=z_0$ ). Invece è giusto, poichè la cella è termicamente isolata, imporre in essa la conservazione di $pV^{\gamma}$ , come stavi facendo scrivendo $T_0 V(z_0)^{\gamma-1}=TV(z)^{\gamma-1}$ Ti manca solo un passaggio prima di arrivare alla soluzione

Sono d'accordo che $\rho(z)$ della cella non è quello dell'atmosfera. Ma penso che invece la pressione della cella alla quota z sia quella dell'atmosfera a quella quota. Se questo non è sbagliato per trovare $V(z)$ della cella mi viene la potenza $\gamma - 1$ di $1-(\mu g/RT_0)(z-z_0)$ che non so da due giorni come trattare

Forse sbaglio a sviluppare prima l'esponenziale in serie. Se l'ipotesi sulla pressione è giusta svilupperò con l'esponenziale sviluppandolo in serie solo alla fine. Mi pare che su $\omega^2$ ci sia un fattore 2/7 in più...

Giusta l'osservazione sulla pressione e giusto il fattore $\frac{2}{7}$ . A questo punto ti direi di postare il procedimento completo

Per l'isolamento termico della cella e riferendoci ad essa deve valere $p(z_0).V(z_0)^\gamma=p(z).V(z)^\gamma$ e dalle relazioni del primo post si ottiene
$\frac{V(z)}{V(z_0)}=[\frac{p(z_0)}{p(z)}]^{1/\gamma}= [\frac {\rho(z_0)}{\rho(z)}]^{1/\gamma}= exp[{\frac{\mu.g}{\gamma RT_0}(z-z_0)}]$ . La spinta di Archimede con la densità dell'atmosfera e il volume V(z) della cella vale allora $\rho(z).V(z).g= \rho(z_0).exp[{-\frac{\mu.g}{RT_0}(z-z_0)]}.V(z_0).g.exp[{\frac{\mu.g}{\gamma RT_0}(z-z_0)]}=\rho(z_0).V(z_0) g . exp[{-(2/7)\frac{\mu g}{RT_0}(z-z_0)}]$ essendo $\gamma=7/5 , (1/\gamma)=5/7, 1-(1/\gamma)=2/7$ .
Riprendendo allora l'equazione del moto del post precedente, dopo aver sviluppato in serie l'ultimo esponenziale, essendo $\rho(z_0).V(z_0)=mg$ , elidendo +mg con -mg e dividendo per m
$\frac {d^2(z-z_0)}{dt^2} + (2/7)\frac {\mu g^2}{RT_0}(z-z_0) = 0$ da cui emerge $\omega = g \sqrt{(2/7)\frac{\mu}{R T_0}}$ e quindi $T=\frac{2\pi}{g}\sqrt{(7/2)\frac{R T_0}{\mu}}$

Corretto!

Riapro questo thread per proporre un bonus.
Supponiamo stavolta che l'atmosfera sia in equilibrio meccanico ma non termodinamico, cioè $T(z)$ è una funzione generica (ovunque positiva). Trovare, in funzione dei parametri del problema originale e di $T(z)$ , il periodo di oscillazione di una cella che all'equilibrio si trova a quota $z_0$ . Qual è la condizione su $T(z)$ affinché non ci sia convezione (cioè, affinché piccoli spostamenti di una cella diano luogo a piccole oscillazioni)?

Sia $\delta n$ il numero di moli nella cella d'aria, $\delta h$ il suo spessore, $A$ l'area di base, $z$ la sua quota. Dalla condizione di equilibrio si ha $\delta n \mu g =A(p(z)-p(z+\delta h)) \approx -A \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}(z)\delta h$ . Dalla legge dei gas perfetti $\delta n=\frac{p(z)A\delta h}{RT}$ , quindi $\frac{p\mu g}{RT}=-\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}$

Visto che la cella non scambia calore con l'esterno, se la pressione interna varia di $\delta p$ , allora lo spessore diventerà $\delta h'=\delta h(\frac{p}{p+\delta p})^{\frac{1}{\gamma}} \approx \delta h (1-\frac{\delta p}{\gamma p})$

Quando la cella si sposta di $\delta z$ , $\delta p = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z} \delta z$ , quindi dopo lo spostamento infinitesimo lo spessore sarà $\delta h'=\delta h (1-\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z} \frac{ \delta z}{\gamma p})$

Esprimendo la forza peso agente sulla cella in funzione della pressione come sopra, si ottiene che la forza netta è

$F(z)=A(p(z+\delta z)-p(z+\delta z +\delta h')-p(z)+p(z+\delta h))$

$=A(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}(z)(\delta h-\delta h')-\frac{\mathrm{d^2} p}{\mathrm{d} z^2}(z)\delta h'\delta z)$

$\approx A\delta h\delta z(\frac{1}{\gamma p}(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z})^2-\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d} z^2})=m \ddot{\delta z}=-\frac{1}{g}A\delta h \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z }\ddot{\delta z}$

Otteniamo quindi $\ddot{\delta z}=-\frac{g\left ( \frac{1}{\gamma p}\left ( \frac{\mathrm{d}p }{\mathrm{d} z} \right )^2-\frac{\mathrm{d}^2 p }{\mathrm{d} z^2} \right )}{\frac{\mathrm{d}p }{\mathrm{d} z}}\delta z$

Sfruttando la condizione di equilibrio si ha ${\frac{\mathrm{d}^2p }{\mathrm{d} z^2}}=-\frac{\mu g}{RT}{\frac{\mathrm{d}p }{\mathrm{d} z}}+\frac{\mu g p}{RT^2}\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} z}=\frac{\mu gp}{RT^2}(\frac{\mu g}{R}+\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} z})$

Inserendo questo nell'espressione precedente si ottiene infine $\ddot{\delta z}=-\frac{g}{T}\left ( \frac{2\mu g}{7R} + \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} z} \right )\delta z$ , quindi non si ha mai convezione se e solo se $\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} z }> -\frac{2\mu g}{7R}$

Forum OLIFIS

Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

Re: Oscillazioni di una cella d'aria.