257 - Striscia infinita di maglie quadrate

[VFersini]

Allora ragazzi, mi scuso perché ho avuto modo di riguardare il problema, e mi sono resa conto di aver interpretato male la traccia. L’ho rifatto da capo ed effettivamente la soluzione mi viene uguale a quella di DeoGratias... non so perché avevo interpretato la striscia come infinita da entrambe le parti, e un errore nella considerazione della soluzione mi aveva indotta a pensare che avrei dovuto considerare come parte della stessa Req la resistenza di uno dei due filamenti laterali. Principalmente però avevo capito male il senso dell’infinità del circuito. Scusate tanto, l’ansia fa brutti scherzi

[Sam]

Provando a riflettere sul problema e a risolverlo sono giunto alla stessa conclusione di DeoGratias e con un procedimento affine, tuttavia trovo difficile scrivere una soluzione che sia sufficientemente rigorosa; proverò comunque a dire la mia tenendo conto delle tre domande fatte da Leo.

Considero un circuito analogo a quello del problema, ma con un numero finito di maglie quadrate. Definisco con resistenza verticale qualunque resistenza del circuito geometricamente parallela a quella compresa tra A e B; definisco con resistenza orizzontale qualunque resistenza del circuito geometricamente perpendicolare a quella compresa tra A e B; infine definisco con ultima resistenza verticale l'unica resistenza verticale del circuito (oltre a quella compresa tra A e B) che appartenga ad una e una sola maglia quadrata. L'ultima maglia quadrata del circuito presenta 4 resistenze, due verticali (di cui una è proprio l'ultima resistenza verticale) e due orizzontali: le due orizzontali e l'ultima resistenza verticale sono collegate in serie ed equivalgono ad una resistenza , parallela alla resistenza verticale non considerata. Quest'ultima ed , poichè collegate in parallelo, equivalgono dunque ad una resistenza . A questo punto il circuito sarà della stessa tipologia di quello considerato inizialmente, ma con maglie e con l'ultima resistenza verticale di modulo . E' allora possibile ripetere lo stesso procedimento ottenendo un altro circuito che ha l'ultima resistenza verticale di modulo , ed è poi possibile procedere analogamente per le restanti maglie, fino ad ottenere , ossia la resistenza equivalente a quella misurata tra i punti A e B. Nel caso in cui il numero di maglie tenda ad infinito non esiste nessuna ultima resistenza verticale e la frazione che esprime prosegue all'infinito, diventando . Per trovare il valore del coefficiente di , pongo

allora

[Leo]

Avevo già osservato che il risultato non è congruo e credo che il baco stia proprio nel voler introdurre, anche se iterativamente, l'ULTIMA MAGLIA come aveva fatto DeoGratias. Questo tipo di problemi (vedi SNS 6 del 2011) possono affrontarsi sfruttando la definizione di resistenza cioè, applicando una differenza di potenziale fra A e B e valutando l'intensità di corrente, si ha la resistenza come rapporto fra le due grandezze. Due sono i modi per andare da A a B, o direttamente attraverso R (corrente ) o attraverso la striscia infinita (corrente ). Da A partono le due correnti, in B arrivano le due correnti. Basta esaminare le ddp e le correnti nella prima maglia e in entrata nella seconda per accorgersi che non c'è bisogno di allontanarsi dalla PRIMA MAGLIA (il resto della striscia infinita è, come c'era da immaginarsi, assolutamente ridondante). Se vai nel sito citato anche il problema 2, un pò più complicato, si risolve tuttavia nello stesso modo.

[Sam]

Avevo già osservato che il risultato non è congruo e credo che il baco stia proprio nel voler introdurre, anche se iterativamente, l'ULTIMA MAGLIA come aveva fatto DeoGratias. Questo tipo di problemi (vedi SNS 6 del 2011) possono affrontarsi sfruttando la definizione di resistenza cioè, applicando una differenza di potenziale fra A e B e valutando l'intensità di corrente, si ha la resistenza come rapporto fra le due grandezze. Due sono i modi per andare da A a B, o direttamente attraverso R (corrente ) o attraverso la striscia infinita (corrente ). Da A partono le due correnti, in B arrivano le due correnti. Basta esaminare le ddp e le correnti nella prima maglia e in entrata nella seconda per accorgersi che non c'è bisogno di allontanarsi dalla PRIMA MAGLIA (il resto della striscia infinita è, come c'era da immaginarsi, assolutamente ridondante). Se vai nel sito citato anche il problema 2, un pò più complicato, si risolve tuttavia nello stesso modo.

Sto continuando a sbattere la testa su questo problema, ma anche tentando di seguire i tuoi hints continua a non tornarmi qualcosa e non riesco a non allontanarmi (perdona la litote) dalla prima delle infinite maglie quadrate.

Seguendo il tuo consiglio ho provato a studiare le varie correnti (chiamando e i due nodi della prima maglia, in modo che percorrendola in senso antiorario si incontrano in successione , , e ): da partono , che passando verticalmente da raggiunge direttamente , e , che invece si allontana orizzontalmente da e raggiunge dopo aver percorso una resistenza . si divide a quel punto tra (che analogamente a quanto fatto prima da scende verticalmente raggiungendo ) e (che procede lungo la stessa direzione di ); poi come anche si divide tra e e così via. A questo punto mi sono occupato delle differenze di potenziale nella prima maglia: , , e infine . Poi ho definito la resistenza equivalente a quella presente tra e come . Da questo punto in poi non riesco più a venirne a capo, perché nell'equazione rimane che non so come eliminare senza allontanarmi dalla prima maglia e, anche allontanandomi, non posso far altro che esprimerla in funzione di , , , ... giocando un po' con le ddp.
[P.S.Ho provato anche ad individuare una seconda strada per risolvere il problema, però credo che sia completamente errata visto che mi esce lo stesso risultato trovato in precedenza da DeoGratias e da me (quindi temo di aver reintrodotto indirettamente il concetto di "ultima maglia" o qualche altra fesseria); proverò a presentarla lo stesso perché nel caso in cui fosse sbagliata non riesco a capire dove sia l'errore. è il collegamento in parallelo tra (da cui passa ) e la resistenza del resto del circuito (da cui passa ). Per trovare considero un circuito identico a quello del problema ma privato della resistenza : la resistenza equivalente tra e è in questo caso . Poiché infinito, (e credo che il mio errore stia in questa semplificazione), la resistenza che unisce a è collegata in parallelo ad (quindi è sia la resistenza equivalente complessiva di questo circuito, sia la resistenza che semplifica il resto del circuito collegato in parallelo a ). Vale a questo punto la relazione , da cui . Perciò, ].

[Leo]

Cerco di riprendere dal tuo PS perchè non hai avuto fede nel suggerimento. Seguo i tuoi vertici in senso antiorario ABCD. Da A partono e in B esse arrivano. Su questo non ci sono dubbi. Allora per cui, sottraendo, . Ma è anche per cui. Se dividi per R scopri allora che la corrente che va da D a C è . Se ci riferiamo al nodo D si vede allora che la corrente che dovrebbe entrare nella seconda maglia è che si annullerebbe, cioè nessuna corrente proseguirebbe nella seconda maglia, se Ebbene questo è il nostro caso reale della prima maglia in cui .....per cui la R(eq) è....Se lo finisci ti sei meritato il testimone

[Sam]

Cerco di riprendere dal tuo PS perchè non hai avuto fede nel suggerimento. Seguo i tuoi vertici in senso antiorario ABCD. Da A partono e in B esse arrivano. Su questo non ci sono dubbi. Allora per cui, sottraendo, . Ma è anche per cui. Se dividi per R scopri allora che la corrente che va da D a C è .

Fino a qua mi è tutto chiaro, si tratta della stessa conclusione a cui sono pervenuto durante il mio tentativo di risoluzione imponendo la conservazione dell'energia con la legge dei nodi

Se ci riferiamo al nodo D si vede allora che la corrente che dovrebbe entrare nella seconda maglia è che si annullerebbe, cioè nessuna corrente proseguirebbe nella seconda maglia, se

Questo è ciò che mi sfugge: per la prima legge di Kirchhoff , da cui , che è la corrente entrante nella seconda maglia; come hai detto tu se allora e non passa corrente nel resto del circuito: nel caso in cui ciò fosse vero si dedurrebbe immediatamente che . Tuttavia questa condizione mi perplime non poco, in quanto, per la seconda legge di Kirchhoff applicata alla seconda maglia, la corrente passante per (chiamando la resistenza della seconda maglia parallela a ) sarebbe , che si annulla invece per .
Provando inoltre a verificare per quale valore di la corrente non proseguirebbe dalla seconda alla terza maglia mi risulta , da cui, ipotizzando che tale relazione sia vera, si avrebbe e allontanandosi dall'origine del circuito si avrebbero valori sempre più vicini al numero che ho citato già troppe volte.

questo è il nostro caso reale della prima maglia in cui .....

Qua non ho capito cosa intendi con "caso reale"

Chiedo ancora scusa nel caso in cui abbia detto altre sciocchezze; mi sa che in 'sti giorni andrò a riguardarmi per bene elettromagnetismo e circuiti perché sono un po' arrugginito

[Leo]

Io non so come esprimermi meglio e tu hai dato il risultato giusto per R(eq)= (3/4)R. Quindi per me può bastare e il testimone è tuo . Giudico inutile l'investigazione successiva visto che nel nostro caso reale (lo ribadisco) e nemmeno un elettrone entra nella seconda maglia. Quindi nessun elettrone entra nel resto della striscia infinita che pertanto si riduce alla sola prima maglia!! P.S. Ribadisco il consiglio di andare nel sito citato e fare anche il problema 2 che non ho riportato perchè il circuito è complicato e bisogna vederlo.

[Sam]

Perdona la mia ottusità, ma ti porrò un'ultima domanda, sta volta strettamente teorica (ti giuro che è l'ultima, poi non ti tedierò più ): il fatto che la corrente non passa nella seconda maglia è dovuto al fatto che il circuito è infinito, giusto? Perché se considero un circuito analogo, ma con un numero finito di maglie, la resistenza equivalente tra A e B varia a seconda di (ad esempio la tra A e B in un circuito a una maglia è leggermente inferiore rispetto alla di un circuito a due maglie) e la corrente che passa per le maglie successive la prima univocamente definita da e da , e risulta perciò impossibile impedire che la corrente passi per la seconda/terza/... maglia
P.S. preferirei lasciare il testimone a te/qualcuno che abbia da proporre problemi ben più interessanti di quelli da me conosciuti (perlopiù provenienti dall'Halliday o da questo sito e perciò già risolti)

[Leo]

Non credo che sia dovuto al fatto che è infinito ma al fatto che nella prima maglia . Infatti si conclude che tutta la infinita striscia equivale alla PRIMA MAGLIA. Dalla seconda in poi è come se non ci fosse e si potrebbe tagliare.
Quanto al testimone della staffetta, posi anche io lo stesso problema e altri hanno fatto lo stesso, compreso anche te ora. Ma gli utenti esperti, punti di riferimento del forum, fecero giustamente osservare che bisogna pur cominciare. Se vogliamo dirla tutta, escludendo gli esperti, c'è solo un fuoriclasse; noi siamo tutti equivalenti. Questo io l'ho preso dal S.Anna e altri da SNS... Quindi forza e goditi questa tua prima volta con il 258!!

[Sam]

Va bien