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Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 14 gen 2018, 21:02
da Aleksej99
Per il punto c) ;
osserviamo che la forza esercitata dal campo elettrico della sfera,in un istante
, su una particella a distanza
)
dal centro e distanza iniziale
è
= \frac{Qqr_0^3}{4 \pi \epsilon_0 R^3 r(r_0;t)^2})
e dunque
= \frac{Qr_0^3}{4 \pi \epsilon_0 R^3 r(r_0;t)^2})
Consideriamo il flusso del campo su una superficie sferica di raggio
e applichiamo il teorema di Gauss
) = \frac{r_0^3}{\epsilon_0 R^3} = \frac{q(r_0;t)}{\epsilon_0})
Ma allora
)=Q\frac{r_0^3}{R^3})
e dunque
)=M\frac{r_0^3}{R^3})
dove con
,m(r))
indichiamo rispettivamente carica e massa all'interno di una sfera di raggio
...
Questa distribuzione è analoga a quella iniziale nella quale avevamo supposto ( almeno io lo ho dovuto fare per ottenere gli stessi risultati di lance ) che la densità fosse uniforme
Ok credo sia giunto ad una conclusione ovvia che non dimostra nulla ...
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 14 gen 2018, 22:34
da Gamow00
Per ora non hai dimostrato niente ma sei sulla buona strada
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 14 gen 2018, 23:49
da Aleksej99
Unendo le espressioni di
)
e
))
otteniamo che
 = \frac{q(r)} {4 \pi \epsilon_0 r^2} )
che é proprio il campo elettrico generato da una distribuzione sferica uniforme di carica sulla superficie della sfera... Visto che ogni contributo di carica é dato da masse tutte uguali tra loro l'uniformità della distribuzione di carica implica l'uniformità della distribuzione di massa...
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 15 gen 2018, 0:23
da Gamow00
Aleksej99 ha scritto: ↑14 gen 2018, 23:49
Otteniamo che
che é proprio il campo elettrico generato da una distribuzione sferica uniforme di carica sulla superficie della sfera...
In realtà no. Sappiamo che il campo è quello grazie al teorema di Gauss. Ma non sappiamo nulla sulla distribuzione di carica. Potrebbe benissimo essere tutta concentrata nel centro...
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 15 gen 2018, 16:30
da Aleksej99
Provo un altro approccio che spero funzioni, dato che mi convince di più del primo ...
Notiamo innanzitutto che per l'analisi dimensionale
sarà una funzione del tipo
=f(z)r_0)
dove
)
è un numero adimensionale che non dipende da
Sia ora
)
la densità di carica, avremo per quanto detto prima
 = \frac{q(r_0+dr;t)-q(r_0;t)}{r(r_0+dr;t)-r(r_0;t)} \cdot\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r(r_0;t)^2}
)
Ricordiamo ora che
}{\partial r_0}= \frac{3Qr_0^2}{R^3})
e che
}{\partial r_0}=f(z))
Avremo dunque
 = \frac{q(r_0+dr;t)-q(r_0;t)}{r(r_0+dr;t)-r(r_0;t)} \cdot\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r(r_0;t)^2} = \\
\frac{\partial q(r_0;t)}{\partial r_0} \cdot (\frac{\partial r(r_0;t)}{\partial r_0})^{-1} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r(r_0;t)^2} = \\
\frac{3Qr_0^2}{R^3} \cdot f(z)^{-1} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2 f(z)^2 } = \frac{3Q}{4 \pi \epsilon_0 R^3 f(z)^3}
)
e notando da questa ultima uguaglianza che
}{\partial r_0 }=0)
concludiamo
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 15 gen 2018, 18:49
da Gamow00
Bella come dimostrazione!
Ti manca però da giustificare la tua assunzione iniziale. L'analisi dimensionale non basta, perché potresti avere qualcosa del tipo
.
Prova a utilizzare l'equazione del moto
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 15 gen 2018, 19:09
da Aleksej99
Allora...
Dall'analisi dimensionale sappiamo che
 =f(z)g(r_0))
dove
)
ha dimensioni di una lunghezza e non dipende la tempo
Dall'equazione del moto abbiamo che
r(r_0;t)=f''(z)f^2(z)g^3(r_0)=k r_0^3)
e dunque la proporzionalità tra
ed
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 15 gen 2018, 19:42
da lance00
più velocemente (se non ho sbagliato qualcosa)
=> se
*r_0)
è chiaramente uniforme
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 15 gen 2018, 19:57
da Gamow00
Ok Aleksej!
A te il testimone
@lance
Mi dispiace non dartelo ancora
anche sei hai fatto i primi due punti; però lo consegno solo a chi risolve l'ultimo.
Pista anche la tua comunque! Quello che hai scritto mi sembra un ottimo inizio
Re: 130: Cariche in libertà
Inviato: 15 gen 2018, 20:22
da lance00
Allora, un guscio sferico di raggi
e
, di massa
, dopo un certo tempo
si sarà espanso e avrà raggi
e
. La densità di questo guscio (uniforme) sarà
. Chiaramente, se
 = r_0 * f(t) )
,
è uniforme in quanto non dipende da
ma solo da
. Che
sia effettivamente l'equazione giusta lo si può verificare sostituendo nell'equazione del moto (come ha fatto Aleksej99)