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Grande lance!

$C$ è corretto!
$g$ invece è sbagliato, ma ci sei molto, molto vicino

Prova a ricontrollare le costanti di integrazione...

@ Gamow
Non so se ti chiedo troppo ma vorrei un giudizio su quella che era la mia risposta al punto 1.
Secondo me la plastilina deve essere modellata a forma di cono con il vertice nell'origine. Infatti deve essere resa massima e costante la componente del campo elettrico lungo l'asse x rispetto a cui la figura deve avere simmetria circolare. Deve essere resa costante allora $\frac{1}{r^2}.\frac{x}{r}$ dove l'ultima frazione è cos $\phi$ . In coordinate cartesiane $\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ . Derivando ed uguagliando a 0 si trova $(y^2+z^2)=2x^2$ che ho trovato su internet essere l'equazione di un cono essendo quelle circonferenze su piani paralleli al piano yz le sezioni del cono aventi per raggio $x\sqrt{2}$ . Il cono ha altezza x. E' possibile dal volume trovare allora l'altezza del cono e l'area di base ovvero $x_{max} , r_{max}$ essendo $V=(1/3)\pi 2 x_{max}^2.x_{max}$ da cui mi risulterebbe un'altezza del cono $x_{max}$ pari a $(\frac{3V}{2\pi})^{1/3}$ ed $r_{max}=x_{max}\sqrt{3}$

Ti ringrazio in anticipo per il tuo tempo.

Secondo i meie conti al risultato del punto b) dato da @lance00 manca un fattore $3^{\frac{1}{3}}$

verrebbe, se non ho sbagliato i conti, $g = \int_0^c \int_0^{\sqrt{c^{2/3}x^{2/3}-x^2}} 2\pi G \rho \frac{xy dx dy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$ , ora il problema è calcolarlo

@carol
Scusami di non aver considerato prima il tuo messaggio.

carol ha scritto: ↑
8 gen 2018, 12:02
In coordinate cartesiane $\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ ...

Immagino che tu volessi scrivere $\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3}}$ in coerenza con la formula( corretta ) $\frac{1}{r^2}.\frac{x}{r}$

carol ha scritto: ↑
8 gen 2018, 12:02
Derivando ed uguagliando a 0 si trova $(y^2+z^2)=2x^2$

Questo passaggio non mi convince

.

Rispetto a cosa stai derivando?
A cosa serve questa derivata?

$\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3}}=cost$ è già l'equazione della tua figura. Ti basta fare qualche manipolazione algebrica per ottenerla nella forma

$y^2+z^2=\frac{x^{1/3}}{c}-x^2$ Ponendoci nel piano $xy$ l'equazione diventa $y=\sqrt{\frac{x^{1/3}}{c}-x^2}$ , che è la relazione cartesiana tanto agognata.

carol ha scritto: ↑
8 gen 2018, 12:02
Il cono ha altezza x. E' possibile dal volume trovare allora l'altezza del cono e l'area di base ovvero $x_{max} , r_{max}$ essendo $V=(1/3)\pi 2 x_{max}^2.x_{max}$ da cui mi risulterebbe un'altezza del cono $x_{max}$ pari a $(\frac{3V}{2\pi})^{1/3}$ ed $r_{max}=x_{max}\sqrt{3}$
Ti ringrazio in anticipo per il tuo tempo.

Questi passaggi sono giusti ma si basano sui presupposti errati visti sopra. L'errore è che hai usato la derivata per minimizzare una formula che era già "minimizzata". Spero di essere stato abbastanza chiaro.

@teodella99

Ci sei quasi,davvero

@lance 00

Mi fido dell'integrale

ma non è proprio la strada giusta. Devi cercare di scriverti il contributo di ogni "guscio" in una forma comoda e trasformare l'integrale in qualcosa che assomigli all'integrale definito che vi ho dato nell'hint

A sto punto scrivo il mio procedimento e attendo correzioni.
$g=\rho G \int_{V} \frac{dV}{r^2} \cos \phi$
Ma sfruttando i risultati precedenti sappiamo che $V=\frac{4 \pi}{15} c^3$ (da cui $dV=\frac{4 \pi}{5} c^2 dc$ ) e $r^2=c^2 \cos \phi$
Riscrivendo il tutto si ottiene
$g=\rho G \int_{0}^{(\frac{15V}{4\pi})^{\frac{1}{3}}} \frac{4\pi}{5} dc = 3^{\frac{1}{3}} ({\frac{4\pi}{5}})^{\frac{2}{3}} \rho G V^{\frac{1}{3}}$

Gamow00 ha scritto: ↑
8 gen 2018, 17:17
Immagino che tu volessi scrivere $\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3}}$ in coerenza con la formula( corretta ) $\frac{1}{r^2}.\frac{x}{r}$

Ma $r=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}$ per cui se lo elevo al cubo dovrebbe venire elevato a (3/2)
Ora, avevo ragionato, se $\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ deve essere costante rispetto ad x, la sua derivata RISPETTO ad x deve annullarsi. Forse non ho compreso il testo, dove sto sbagliando
Scusami se ti rompo ma questo è il punto. So bene come dici che il resto successivamente è una conseguenza.

Bravo teodella!

La tua soluzione è corretta,solo che differisce dalla soluzione di lance per un fattore $3$ , non $3^{1/3}$ . Ti ricordo che la soluzione di lance era $g=G\rho{(\frac{4\pi}{15})}^{2/3}V^{1/3}$ e non $g=G\rho{(\frac{4\pi}{5})}^{2/3}V^{1/3}$

Passo a te il testimone! Non lo do a lance perchè so che lo prende sempre

Per la questione del $3/2$ hai ragione tu, mi sono proprio confuso.Era giusta la tua espressione originale.

L'errore sta nella questione della derivata rispetto a x.
$\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ rappresenta l'equazione di un guscio sul contorno del quale ogni "pezzettino" da lo stesso contributo al campo gravitazionale. Gusci diversi, però, hanno contributo diverso. In particolare si può trovare che il contributo di ogni guscio sale linearmente con l'allontanarsi dall'origine.

carol ha scritto: ↑
8 gen 2018, 18:13
Ora, avevo ragionato, se $\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ deve essere costante rispetto ad x, la sua derivata RISPETTO ad x deve annullarsi. Forse non ho compreso il testo, dove sto sbagliando

Il fatto non è che $\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ è costante rispetto a x, ma che sul confine di questa sagoma i punti danno lo stesso contributo gravitazionale.
Non so se mi spiego

Ti ringrazio vuol dire che avevo equivocato nettamente sul testo. Quando si dice che la condizione preliminare per risolvere un problema è la corretta comprensione del testo...

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127: Un pianeta di plastilina

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