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Ho immaginato la forza di attrito applicata al cm e quindi con momento nullo.

Immagina una parte infinitesimale di asta dx a distanza x dal centro di massa. Supponendo che la massa sia distribuita uniformemente, la massa compresa nella parte considerata è

La forza di attrito dovuta a tale parte è

e il suo momento rispetto all'asse di rotazione

Se l'asta ruota attorno al centro di massa, il momento risultante si ottiene sommando tutti questi contributi ovvero integrando l'equazione precedente su tutta la lunghezza della sbarra

In ogni caso dovrebbe essere intuitivo il fatto che il momento dovuto alla forza di attrito non può essere nullo. Se infatti fai ruotare l'asta su un piano con attrito, questa prima o poi si fermerà.

Si avevo omesso il momento ma dopo averlo introdotto applicando la sec. legge al moto del cm e poi quella attorno al cm non mi viene. Ci devo ancora riflettere.

Credo che mi tornasse un sistema impossibile perchè la formula del tuo momento, che io sostituivo, non è corretta. Infatti, essendo rispetto al cm, non va integrata come dici su "tutta la lunghezza" ma fra 0 e -l/2 e 0 e +l/2. Secondo me il tuo è il momento rispetto all'estremo. Risulta allora a me che il momento delle forze di attrito è . Sostituendo nel sistema di due equazioni (moto del cm e attorno al cm) mi risulterebbe come forza minima

Mi sono scordato di dividere per 2. Il risultato per la forza minima non coincide con quello della fonte.. (d'altronde nemmeno io mio). Se vuoi posta il procedimento