114. Relatività ristretta

[guido]

1) Per quanto riguarda il discorso sulla potenza energetica: nella mia equazione infatti (I membro) è proprio una potenza essendo un'energia per unità di tempo. Così il II membro.

2a) Ma vengo al nocciolo duro della tua obiezione: io imporrei che la massa-energia su S si conservasse su S'. Ecco perchè avevo messo che l'energia per unità di tempo su S-che è quella a riposo- deve uguagliare l'analoga su S' prescindendo dal discorso sul calore per ora. E' sbagliato questo?

2b) Dici che su S' devono comparire sia F che per metterle a sistema...e va bene. Ma allora F deve comparire nel lavoro che fa? Perchè utilizzando la prima e poi ci sarebbe l'energia totale delle due masse se rimangono come tali. Al solito si tratta poi di potenza se è per unità di tempo. Dove sbaglio nel ragionamento?
P.S. Non sono d'accordo sul fatto che il calore viene prodotto ma si disperde dopo, comunque non ha importanza.
Spero di averti chiarito il mio punto di vista e aspetto con grande interesse la tua correzione.

[step98]

1 e 2a)Da quanto ho capito nella tua equazione stavi uguagliando l'energia guadagnata per unità di tempo in S con la stessa grandezza misurata in S'. Qui è importante precisare quali grandezze sono invarianti nel passaggio da un sistema all'altro: le masse-energie a riposo sono invarianti, ma la loro somma non è utile nei problemi perché, se il carrello ha massa e il blocchetto , la massa del sistema dei due corpi non è detto che sia , ed il motivo per cui hai giustamente aggiunto . In generale la massa di un sistema di due corpi è .

2b)Il problema può essere risolto anche con la relazione che ho riportato sopra, ma questo introdurrebbe altri concetti relativi al centro di massa relativistico che porterebbero alla stessa soluzione ma che avrei preferito evitare per mantenere semplice la discussione.

Ma allora F deve comparire nel lavoro che fa? Perchè utilizzando la prima e poi ci sarebbe l'energia totale delle due masse se rimangono come tali. Al solito si tratta poi di potenza se è per unità di tempo.

Quello che hai scritto qui è perfetto: compare per via del lavoro che compie, e se riesci a scrivere tutto ciò in termini matematici dovresti arrivare direttamente alla soluzione, ma lo devi fare ragionando solo in S, perché è in S che stai applicando la conservazione della massa-energia. In pratica devi scrivere la massa-energia iniziale, quella finale e poi imporre che la variazione sia pari al lavoro che hai scritto, e ti dovrebbe venire un'equazione in una sola incognita, .

[guido]

Forse siamo alla stretta finale ma sono due giorni che sto combattendo con il procedimento suggerito da te e mi viene un problema. Intanto io direi rispetto ad S e non in S come dici tu. Ma forse è solo una sfumatura linguistica. Il carrello sfreccia a velocità V rispetto ad S così come la sabbia caricata. E va bene. Il mio problema è: siccome la massa energia iniziale per unità di tempo di cui dici non può che essere, quella finale a velocità V dovrebbe essere e poi c'è il lavoro che ho scritto e che dici va bene. Ma in tutti i termini compare la somma delle masse che nell'uguaglianza si elide: ecco il problema ed ecco perchè sto sbagliando qualcosa. Allora nella massa-energia finale non va forse considerata ??
Infatti nell'uguaglianza di cui parli ci deve essere un'asimmetria giustificata dal calore fra che permette di esprimere sennò perchè avremmo supposto l'esistenza di ? Ecco il mio dubbio decisivo!!

[guido]

Ti scrivo da scuola perchè ieri mi è venuta un'altra idea Finora nella seconda relazione della massa-energia (visto che la prima su F dici che è giusta)non avevo considerato esplicitamente la quantità di calore. Ora io credo che il primo principio della termodinamica valga anche in relatività cioè cioè (tutto per unità di tempo)il calore prodotto è uguale al lavoro che ora è negativo perchè effettuato sul sistema ovvero+ la variazione di energia del sistema (che è l'energia finale - l'energia iniziale. Ora secondo me questa quantità di calore prodotta nell'unità di tempo dovrebbe uguagliare l'energia a riposo della massa aggiunta per unità di tempo (o non ce l'avevamo messa con questo scopo?? ). Si creerebbe così l'asimmetria necessaria fra le due masse. Allora ricavando in funzione di e sostituendo ottengo a meno di errori di calcolo sicuramente possibili ma non importanti rispetto al procedimento
Vorrei sapere che ne pensi

[step98]

In realtà è molto più semplice di quello che hai scritto nell'ultimo post, ci sei andato più vicino nel penultimo: all'energia iniziale e finale che hai scritto va aggiunta l'energia del carrello, ma poco importa ai fini della risoluzione del problema perché essendo presente sia prima che dopo l'urto questa energia si semplifica. Il vero errore sta nell'espressione che hai scritto per l'energia iniziale, cioè prima dell'urto. Non essendoci ancora stato l'urto, non devi considerare la massa-energia , ma solo la massa-energia di e del carrello, perché non è ancora presente, in quanto è la massa-energia del calore che si sviluppa durante l'urto. Ovviamente questa massa-energia non viene fuori dal nulla, ma è proprio il lavoro della forza esterna che si trasforma in parte in energia cinetica di , in parte nella massa-energia a riposo del calore, e in parte nell'energia cinetica della massa-energia del calore.

[guido]

Non essendoci ancora stato l'urto, non devi considerare la massa-energia , ma solo la massa-energia di e del carrello, perché non è ancora presente, in quanto è la massa-energia del calore che si sviluppa durante l'urto. Ovviamente questa massa-energia non viene fuori dal nulla, ma è proprio il lavoro della forza esterna che si trasforma in parte in energia cinetica di , in parte nella massa-energia a riposo del calore, e in parte nell'energia cinetica della massa-energia del calore.

E' proprio una questione di intenderci. Io avevo pensato che fin dall'inizio si dovesse considerare quella che avevamo chiamato addirittura massa aggiuntiva . Comunque vengo alla tua e c'è bisogno di intenderci ancora. Cos'è per te l'energia cinetica? Per me è la differenza fra l'energia totale a velocità v cioè per es. e l'energia a riposo cioè. Mi sa che tu non la pensi così perchè allora la tua"massa-energia a riposo del calore + l'energia cinetica della massa-energia del calore" darebbe semplicemente. La intendi così? Se la intendi così dovrebbe venire il lavoro = e.cin. dm cioè+ massa riposo +en.cin cioèDopo un pò di conti mi risulterebbe allora e (se non ho sbagliato i conti )

[step98]

Cos'è per te l'energia cinetica? Per me è la differenza fra l'energia totale a velocità v cioè per es. e l'energia a riposo cioè. Mi sa che tu non la pensi così perchè allora la tua"massa-energia a riposo del calore + l'energia cinetica della massa-energia del calore" darebbe semplicemente. La intendi così?

Sì la intendo esattamente così ma mi sa che non ho capito bene cosa vuoi dire perché il mio modo di intenderla mi sembra uguale al modo in cui la intendi tu.
Comunque il risultato è giusto, sia per che per . A questo punto il problema chiedeva di mostrare che rispetto a S' si otteneva la stessa cosa, ma dato che si tratta di un problema della staffetta che ha già preso parecchio tempo, direi che la staffetta va a te, e nel frattempo ti metto i link al testo e alla soluzione del problema così se proverai l'altro punto potrai controllare la tua soluzione. Tra l'altro nella soluzione dell'autore puoi anche vedere l'altro approccio di cui ti parlavo, cioè quello che utilizza la massa del sistema ricavata dalla relazione tra energia e quantità di moto.
Testo: http://web.physics.harvard.edu/uploads/ ... prob65.pdf
Soluzione: http://web.physics.harvard.edu/uploads/ ... /sol65.pdf

[guido]

Chiarita l'energia cinetica, ti ringrazio per il testimone della staffetta e per i link attraverso cui ho letto con attenzione la soluzione dell'autore. Tuttavia se pensi di avere qualche bel problemino postalo pure come 115: io non sono bravo a postare e per il test ho imparato di più dal tuo che se avessi partecipato alle olimpiadi Sento però il bisogno di comunicarti due cose.

1) Anche la mia soluzione con il primo principio term. era giusta e solo un mio banale errore di calcolo (un segno sbagliato) dava quel risultato sbagliato. Riprendendo il mio post del 20/2 abbiamo infatti da che , tenuto conto che come dicevo il lavoro e il calore sono negativi il primo perchè subìto dall'esterno, il secondo perchè ceduto dalla sabbia con l'urto. Risolvendo puoi constatare che

2) S' crede di essere fermo e vede il piano S che scorre a velocità -v per cui anche per lui la variazione di velocità sabbia è 0-(-v)=v. Pertanto valuta . Applicando il solito primo principio, la variazione di energia della sabbia entrante nel carrello è ora negativa perchè per S' la sua velocità passa da -v a 0. Il lavoro: l'omino per stare al carrello a v=0 rispetto ad esso e ad S', deve correre a velocità +v sul piano come su un tapis roulant in modo che la sua v. ass. in S' = -v+v=0; secondo S' NON compie lavoro sul carrello e sulla sabbia che è arrivata in quel dt' perchè NON si spostano, stanno FERMI e il lavoro è forzaxspostamento; è l'omino che si sposta rispetto al piano e per S' è il carrello (la sabbia) che lo spostano come se stesse attaccato provocando la F dal terreno al piede e compiendo il lavoro POSITIVO perchè verso l'esterno (+F.v.dt); il calore per S' è positivo perchè nell'urto è la sabbia che si riscalda come se il sistema sabbia lo ricevesse dall'esterno. In poche parole ritorna l'equazione di prima a segni invertiti, ricordando che come si era visto .
Concludendo S' arriva alla stessa soluzione di S sia per sia per F:roll:

[step98]

1) Anche la mia soluzione con il primo principio term. era giusta e solo un mio banale errore di calcolo (un segno sbagliato) dava quel risultato sbagliato. Riprendendo il mio post del 20/2 abbiamo infatti da che , tenuto conto che come dicevo il lavoro e il calore sono negativi il primo perchè subìto dall'esterno, il secondo perchè ceduto dalla sabbia con l'urto. Risolvendo puoi constatare che

Sono perfettamente d'accordo: non avevo letto con attenzione la tua procedura con il primo principio della termodinamica perché eri ad un passo dalla soluzione con l'altro procedimento, ma effettivamente è giusto che torni in entrambi i modi perché il 1° principio non è altro che un modo generico di scrivere la conservazione dell'energia per un sistema. In pratica io l'equazione l'ho pensata come "lavoro = calore + energia cinetica del calore + energia cinetica di ", mentre tu come "calore = lavoro - energia cinetica del calore - energia cinetica di ", e in questo modo si vede chiaramente che i due approcci sono perfettamente equivalenti.

2) S' crede di essere fermo e vede il piano S che scorre a velocità -v per cui anche per lui la variazione di velocità sabbia è 0-(-v)=v. Pertanto valuta . Applicando il solito primo principio, la variazione di energia della sabbia entrante nel carrello è ora negativa perchè per S' la sua velocità passa da -v a 0. Il lavoro: l'omino per stare al carrello a v=0 rispetto ad esso e ad S', deve correre a velocità +v sul piano come su un tapis roulant in modo che la sua v. ass. in S' = -v+v=0; secondo S' NON compie lavoro sul carrello e sulla sabbia che è arrivata in quel dt' perchè NON si spostano, stanno FERMI e il lavoro è forzaxspostamento; è l'omino che si sposta rispetto al piano e per S' è il carrello (la sabbia) che lo spostano come se stesse attaccato provocando la F dal terreno al piede e compiendo il lavoro POSITIVO perchè verso l'esterno (+F.v.dt); il calore per S' è positivo perchè nell'urto è la sabbia che si riscalda come se il sistema sabbia lo ricevesse dall'esterno. In poche parole ritorna l'equazione di prima a segni invertiti, ricordando che come si era visto .
Concludendo S' arriva alla stessa soluzione di S sia per sia per F:roll:

Non sono molto d'accordo, invece, con questa seconda parte per vari motivi. Ad esempio quando scrivi , tenendo conto anche di quello che hai scritto alla fine, cioè , capisco che con e ti stai riferendo alle masse relativistiche per unità di tempo (del sistema S'), ma in questo la davanti non ci va, perché la massa relativistica serve proprio a scrivere la quantità di moto relativistica come quella classica, cioè . Devo ancora leggere bene la parte riguardante il primo principio ma credo che anche in S' il calore debba essere negativo perché l'omino, come hai scritto anche tu, non compie lavoro sul carrello, in quanto quest'ultimo è fermo, perciò è l'energia cinetica di che si trasforma in calore.

[guido]

1)Mah, sulla prima obiezione la forza F deve rappresentare la variazione di qdm per unità di tempo; ora dm'/dt o variano secondo S' da - a 0 perchè arrivano a velocità -v [ e quindi la loro qdm è proprio dove è la massa a riposo ] e si fermano a v=0 rispetto a S'.
2)Per la seconda obiezione: le due masse arrivano fredde e nell'urto si riscaldano come se ricevessero una qdcalore...che quindi sarebbe positiva contrariamente a ciò che pensa S per cui invece "scaldano" il carrello.

Però non hai risposto se accetti di postare il 115, anche mentre finiamo la discussione su questo che è bene continui fintanto ne sentiamo il bisogno come era accaduto tante volte per problemi passati, ultimo le aste.