111. Sale o non sale? Questo è il dilemma

[CaptainJohnCabot]

Puoi notare, per esempio, che se allora e abbiamo:



Verificata.

Ah scusate nell'equazione avevo sostituito erroneamente il momento di inerzia di un'asta che ruota attorno ad una sua estremità per questo non mi usciva

Purtroppo ora non ho moltissimo tempo per pensare a come concludere quindi non vi fate problemi a continuare. Approssimativamente l'unica cosa che per ora mi viene in mente è mostrare, uguagliando a 0 le derivate, che è massima per e dovrebbe coincidere con il massimo di . Il minimo invece è per perché tutta la massa è in un punto che coincide con l'estremità (situazione impossibile in questo caso). La situazione in cui ovvero come si è detto è da scartare. Variando da 0 fino a sia che crescono, ma dato che il massimo di è maggiore del massimo di , crescerà più velocemente (almeno nella prima fase, comunque rimanendo sempre maggiore di I). La situazione nella restante metà dell'asta dovrebbe essere simmetrica rispetto a quanto già visto. Pertanto la disuguaglianza del messaggio precedente dovrebbe risultare giustificata per ogni valore di .

Ditemi se può avere senso

Credo che per azzardare qualcosa di più rigoroso serva un modo (che io non ho trovato) per calcolare il momento d'inerzia dell'asta. Sta bene che non sia omogenea ma servirebbe almeno l'espressione della densità in funzione di x...

[Flaffo]

Può anche aver senso, ma andrebbe dimostrato con dei calcoli
Non c'è bisogno dell'espressione per la densità..se vuoi puoi assumere densità che varia con e dimostrare la diseguaglianza per ogni valore di . È abbastanza contoso, ma funziona. C'è un altro modo molto più breve e bello

[guido]

Per CJC: non mi torna molto il sistema di riferimento rispetto a cui imposti le tue equazioni. La prima sembra riferita al punto fisso di sospensione e sono d'accordo è la cosa più sicura. Ma rispetto a questo punto il momento di T è nullo ed è il peso che ha momento non nullo e determina la rotazione. Quindi la seconda equazione è incongrua perchè è riferita al sistema del cdm palesemente non inerziale. Se si mette il momento del peso come causa della rotazione riferendosi al punto di sospensione, si hanno due equazioni nelle incognite acc.cdm e T. Risolvendo per un angolo di rotazione del cdm tendente a zero come chiede Flaffo (un istante dopo il taglio) si trova T>0. Quindi l'estremità NON SALE, salirebbe se T<O!! Non so se ho capito o fraintendo

La falla principalmente tuo ragionamento è che dici che puoi considerare la rorotazione attorno l'estremità poiché questa sta ferma, e argomentando giungi alla conclusione che è ferma

Semplifica il problema con il centro di massa esattamente al centro. Calcola l'accelerazione tangenziale all'estremità e paragonala con l'accelerazione g con cui cade tutto il corpo. Posta l soluzione per questo caso intanto....

Non sono d'accordo con l'identificazione della falla. La rotazione ti dicevo è determinata dal sistema di riferimento. Io dico che rispetto all'estremità le cose vanno a quel modo e che non c'è ragione che nel sistema fisso del punto di sospensione l'estremità salga perchè la tensione del filo aumenta in relazione alla quota di peso che su esso grava tanto da mantenere nulla la sua accelerazione. Mi pare che anche i calcoli di CJC non approdino a risultati opposti tanto che si dice d'accordo con me. Poi questa cosa del corpo che cade con g...ma c'è l'estremità attaccata e quindi non puoi dire cade con g.

[CaptainJohnCabot]

Per guido: nelle equazioni mi sono affidato ciecamente al consiglio di Flaffo, quindi, a meno di errori, dovrebbero essere entrambe riferite al CdM. Il ragionamento sarebbe quindi giustificato se fosse possibile considerare il sistema del CdM in equilibrio all'istante iniziale. Ovvero se si prendesse un tempo talmente breve da poter considerare la rotazione ancora puramente intorno al CdM.
Intuitivamente mi pareva strano, però ho fatto e ripreso l'esperimento, e dall'analisi del video risulta effettivamente che l'estremità sale. Pertanto dovrebbe essere lecito considerare la rotazione intorno al CdM all'istante iniziale.

[Flaffo]

[quote="guido" Poi questa cosa del corpo che cade con g...ma c'è l'estremità attaccata e quindi non puoi dire cade con g.[/quote]

Intendevo ovviamente g meno il contributo della tensione.. l'ho scritto in seggiovia di fretta

Comunque è ciò che ha fatto captain

[CaptainJohnCabot]

Si prende in via generale che . Si calcolano ora il momento di inerzia (rispetto al CdM) e la posizione del centro di massa (rispetto all'estremità) ovvero . Si ha:

Ponendo come estremi di integrazione 0 e l si ottiene . Invece per si ottiene:

E si pongono come estremi di integrazione e , ovvero le ascisse delle estremità nel sistema con origine nel CdM. Si ottiene:



Immettendo questi valori nella disuguaglianza si ha dopo qualche passaggio:



Ovvero:



Si dimostra ora la sua validità:



Ma anche quindi la disuguaglianza risulta dimostrata.

[Flaffo]

C'è un errore nell'integrale per I. Prova a prendere un' altra strada per quello.

[guido]

Per CJC: io non credo che da un video si possa distinguere se, nell'istante immediatamente successivo al taglio, sale. Mi dispiace i miei calcoli non sono sbagliati, li ho rifatti e T>0 quando la rotazione tende a 0 ciò che significa che non sale. Io rimango quindi di questa idea.
Per Flaffo fai come ritieni opportuno: sai bene che a me non interessa il testimone cui più volte ho rinunciato dopo che mi era stato consegnato. E' solo per una questione di verità. E' questa che ci aiuta a imparare e che ci spinge.

[CaptainJohnCabot]

Flaffo hai ragione, nell'integrale per c'erano delle traslazioni sulle da fare... In ogni caso quel metodo diventerebbe troppo complicato quindi provo col teorema degli assi paralleli sperando di non fare errori questa volta.
Per Huygens-Steiner:

Dove è il momento di inerzia dell'asta rispetto all'origine per semplificare l'integrazione e è quello rispetto al CdM. Allora:

Sostituendo:

Inserendo il risultato e il valore di a trovato in si ottiene:

E risulta verificata per ogni n dato e

Spero che sia giusto

Per guido: devo dire che dal video in realtà si comprendeva anche più che decentemente il fenomeno. Io mi sono convinto della validità del ragionamento ripetendo l'esperienza (usando come asta una matita). Valuta, se pensi che ti possa essere utile potresti provarci anche tu

[Flaffo]

Ok, a captainjonhncabot in testimone. Come avevo accennato c'è un metodo meno calcoloso per dimostrare la disequazione, se qualcuno vuole è libero di trovarlo

Per Guido, penso sia ovvio il fatto della rotazione attorno al centro di massa, mentre è sbagliato partore dal presupposto che l'estremo sIa fermo anche perche non è completamente vincolato. La rotazione attorno al centro di massa, comunque, risulta sempre lecita come si dimostra nel teorema di Chasles