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Io l'ho fatto così.
Siamo abbastanza d'accordo sul fatto che l'orbita debba essere ellittica, che il centro della Terra debba essere nel fuoco più lontano (come dimostrato da poor) e che l'altro fuoco, per motivi di simmetria, , debba stare sull'asse del segmento NP, dove P è il punto in cui il missile deve arrivare.
Se è il semiasse maggiore dell'ellisse, allora l'energia meccanica del missile sarà
, con le masse della Terra e del missile rispettivamente.
Nel punto N, l'energia potenziale vale
, con il raggio della Terra.
Con queste due equazioni, possiamo determinare la velocità iniziale in funzione del semiasse maggiore:
.
Studiando la derivata (e questo è il punto su cui sono meno sicuro perché non ho grande dimestichezza...) salta fuori un minimo in . Per valori di maggiori di questo, la velocità continua a crescere.
Questo valore tuttavia non ci piace. infatti abbiamo detto che il centro della terra sta nel fuoco più lontano, quindi è maggiore o uguale a . A questo punto, ci conviene prendere il più piccolo valore accettabile: .
Quest'ultima informazione, aggiunta alle considerazioni precedenti, individua univocamente l'ellisse.
Ora, può essere individuato con considerazioni puramente geometriche. I due fuochi ed il punto N individuano un triangolo isoscele di lato . L'angolo alla base è dato da
.
L'angolo formato dall'intersezione tra NP e la linea dell'orizzonte è uguale ad .
Inoltre, la tangente all'ellisse in N è ortogonale a NP, quindi e sono complementari.
Pertanto,
da cui infine
.
Spero sia giusto! Bel problema in ogni caso

Premetto che devo chiedere scusa a tutti, in particolare poor, perché mi sono accorto che la soluzione che avevo detto essere giusta, in realtà è sbagliata

Detto ciò: la soluzione corretta è

@nace26: secondo me, una volta scritta l'espressione della velocità, ti conviene ragionare su senza usare metodi matematici, ma ragionando sulle proprietà geometriche dell'ellisse. Quando parli di fuoco più lontano non capisco a cosa ti riferisci, e quindi non capisco come trovi la relazione , che secondo me non è vera.

Mmm ci ragionerò su ancora...
Credo di aver capito dove sbaglio, domani ci riprovo. In particolare, hai ragione, non è corretta la mia assunzione

Spero sia la volta buona

Direi che era corretta l'equazione

A questo punto, è chiaro che per minimizzare bisogna minimizzare a sua volta . Se è la distanza di N dal secondo fuoco dell'ellisse, allora . Bisogna quindi minimizzare .
Sappiamo però che il secondo fuoco deve stare sull'asse di NP per simmetria (N, P hanno la stessa energia potenziale). Questo significa che il minimo di è dato dalla distanza tra N e l'asse di NP, vale a dire, il secondo fuoco sta nel punto medio di NP. In questo modo, l'ellisse è determinata univocamente.
Chiamo per comodità . Si vede subito geometricamente che è anche l'angolo tra NP e l'orizzonte. L'angolo tra NP e ON varrà (O è il centro della Terra).
Infine, per il teorema di cui parlava poor, la tangente forma angoli uguali con NP, NO. Siccome uno di questi angoli è chiaramente , avremo
da cui il risultato
Spero sia finalmente giusto

Procedimento perfetto
E' interessante vedere che per piccole distanze (dove quindi possiamo usare il moto parabolico per fare i conti) quindi sostituendo nel risultato , che è l'inclinazione che tutti conosciamo per massimizzare la distanza nel moto parabolico.

Per curiosità, dove l'hai trovato questo problema?

Proviene dalle olimpiadi estoni, puoi trova tutti i testi qui: http://www.ioc.ee/~kalda/ipho/E_S.html