Direi che è ora di postare il procedimento di questo problema, dato che nessuno si fa vivo e l'argomento è attivo da una vita
Siano
e
il volume e la densità della sfera,
il volume della calotta sferica inferiore non immersa e
la densità dell'acqua.
Si ha che sull'oggetto agiscono due forze:
e
, in particolare la palla si solleverà dal fondo all'altezza
quando
.
Dato che
è nota, si procede con il determinare
Se immaginassimo di 'tagliare' la calotta non immersa e di porre l'oggetto ottenuto in recipiente 'normale' riempito d'acqua la forza
ottenuta sarebbe:
g\rho)
Si nota però che sul fondo del nostro recipiente non c'è acqua, dato quindi che
è data dalla differenza di pressione si toglie da
il contributo che l'acqua avrebbe dato con la sua presenza sul fondo, supponendo che l'altezza dell'acqua non scenda mai al di sotto dell'estremità superiore della sfera, utilizzando
e
si ottiene:
g\rho - ghr^2\pi\rho)
Quindi per
si pone
ottenendo:
g\rho - gh_0r^2\pi\rho\implies h_0=\frac{V-V_c}{r^2\pi}-\frac{m}{r^2\pi\rho})
Bisogna ora sostituire
e determinare
. A tal proposito si può considerare
come la somma di infiniti cilindri di area
\pi)
e altezza
, quindi utilizzando il calcolo integrale:
}^{R} {(R^2-h^2)\pi dh})
,
Dalla quale si ottiene (nel mio caso con Wolfram alpha
):
\sqrt{R^2-r^2}))
Sostituendo si ottiene il risultato di wotzu:
]-\frac{m}{\rho \pi r^2})
Per quanto riguarda il bonus sono arrivato al risultato di
con considerazioni 'logiche' (ossia 'campate per aria'
). Infatti quando si viene a formare una calotta di volume
anche superiormente non si ha più quel contributo non bilanciato e quindi la forza
è massima. Avevo pensato di fare la derivata di
per trovare il suo massimo ma la formula che ho usato vale solo quando la sfera è totalmente sommersa e non sono riuscito a trovare altre 'idee' per giustificare dal punto di vista matematico il ragionamento.
Il post è venuto lunghissimo
Mi scuso in anticipo per notazioni imprecise ed errori di trascrizione/concettuali sono ancora abbastanza inesperto
Grazie di tutto! 
