SNS 15/16 N.1

[arna1998]

Posto tutti i conti che ho fatto:
Innanzi tutto posso supporre l'acqua del lago a temperatura costante, dato che sta avvenendo un cambiamento di stato. Ogni volta che il lago cede una quantità di calore , lo spessore del ghiaccio aumenta di , quindi dove è la densità dell'acqua, il calore latente di fusione e la superficie del lago.
Tra l'acqua del lago e l'aria viene trasferita una potenza:
con conducibilità termica del ghiaccio.
quindi posso scrivere:

da cui:

Posso determinare dalla condizione , ottenendo la funzione:

La funzione è del tipo , sfruttando le condizioni e ottengo che e
Si ricava:




Non ho usato alcuni dati, forse servivano per determinare e in modo più preciso

[sall96]

Mi trovo con tutto, ma con le costanti che hai trovato ti dovrebbe venire 66,22cm

[arna1998]

Si è vero, viene come dici tu. Mi sa che ho sbagliato a mettere i dati nella calcolatrice

[OrsoBruno96]

Una cosa carina che è interessante da notare è questa:

Quando aumenti lo spessore del ghiaccio di un dh, non ti serve calore solo per congelare lo strato sotto, bensì anche per raffreddare tutto il ghiaccio sopra!

Per un materiale come l'acqua, il contributo è praticamente trascurabile, ma è carino notare che, se fai i conti, ti accorgi che con i dati che hai a disposizione, il risultato non cambia. Prova

[arna1998]

Non credo di aver capito perché il ghiaccio si deve raffreddare.
Ho immaginato il ghiaccio alla temperatura dell'aria, mentre quello a contatto con l'acqua a 0 gradi, quindi ogni strato di ghiaccio ha una temperatura diversa, ma sempre compresa tra 0 e -5,2 gradi. Quando lo spessore del ghiaccio aumenta e l'acqua cede calore, parte di esso scalderà il ghiaccio, ma la temperatura di uno strato non uscirà mai da quell'intervallo.
Sicuramente c'è qualcosa di sbagliato in quello che ho scritto, ma non trovo dove

[sall96]

Prendi lo strato ad altezza al tempo
. Questo avrà una sua temperatura , che ti puoi calcolare assumendo per esempio che il gradiente di temperatura attraverso il ghiaccio sia lineare. Questa linearità si conserva perché la temperatura dell'acqua e dell'aria rimangono costanti, però lo strato di ghiaccio aumenta. Allora ad altezza dopo un certo tempo si avrà una temperatura

[arna1998]

Ok, ora ho capito. Ho provato ad impostare i conti ma ho trovato qualche difficoltà perché non me la cavo ancora benissimo con gli infinitesimi.
La temperatura di uno strato ad altezza è : , quindi quando l'altezza aumenta di .
Premesso che non so se queste due cose che ho scritto sono giuste, ora non so più come muovermi... Dovrei contare la variazione di per tutti gli strati, ma non so bene come fare.
Qualcuno riesci a darmi un aiuto con i conti?

[OrsoBruno96]

Beh, se fai conti brutali ti viene e se ricordi che , rimane

[arna1998]

Quindi . Siccome varia linermente posso fare i conti come se tutto il ghiaccio avesse una uguale a quella di .
Il calore ceduto dal ghiaccio per una variazione di spessore è quindi:
L'equazione di prima diventa:

Di fatto i risultati non cambieranno perché in entrambe le equazioni al primo membro ho un valore costante da determinare con dati forniti, moltiplicato per .

Inoltre se si provano a sostituire i valori numerici si vede che quindi il raffreddamento del ghiaccio è trascurabile rispetto al congelamento dell'acqua.

[Salvador]

Ho provato a fare questo problema e la forma della funzione mi esce circa come quella che è stata già detta dagli altri, ma i valori mi escono completamente sballati!
Dunque io ho fatto: consideriamo la potenza termica , che ci dice quanto calore viene dissipato dall'acqua al ghiaccio nell'unità di tempo, e che possiamo scrivere come . Supponiamo per semplicità che il gradiente di temperatura sia lineare, dunque deve essere uguale a , dove rappresenta lo spessore dello strato di ghiaccio al tempo t. Abbiamo quindi e osserviamo che affinché una massa di acqua si solidifichi le deve essere sottratta una quantità di calore , con c_s calore latente di solidificazione. Si ha quindi e vado a sostituire ottenendo . Ora , quindi e andando a integrare alla fine mi esce , solo che sono tutti valori noti e non corrispondono a quelli forniti per 12 e 21 giorni! Dove ho sbagliato??