Allora dico subito che non ho mai fatto tanta fatica a risolvere un problema di fisica nella mia vita, poi mi sono accorto che nessuno dei metodi che usavo mi portava a concludere perchè non conoscevo il teorema che ha scritto ieri simone
Cerco di spiegarlo il meglio possibile perchè il problema è parecchio bello:
durante tutto il processo l'energia totale si conserva mentre la quantità di moto totale delle due masse no perchè quando la massa piccola urta il muro la sua quantità di moto diminuisce ( prendendo come verso positivo quello che va dalla "zona delle masse" al muro ) del doppio della sua quantità di moto prima dell'urto con il muro; infatti se dopo un urto con la massa grande, la massa piccola ha una certa velocità, dopo aver urtato il muro ha la stessa velocità cambiata di segno.
Diciamo allora che
è la velocità di
dopo l'ennesimo urto, mentre
è la velocità di
dopo l'ennesimo urto; prima dell'
esimo urto le velocità sono quindi
e
. Ora lo studio dell'
esimo urto si può fare in vari modi: i cinesi generalmente lo fanno nel sistema di riferimento del muro perchè gli piace soffrire, se non siete cinesi la cosa migliore di solito è farlo nel sistema di riferimento del centro di massa ( io in realtà l'ho fatto nel sistema di riferimento della massa piccola, e forse vengono meno conti, però lasciamo stare metto la cosa più ovvia... ); prima dell'urto il centro di massa ha velocità
, quindi cambiando sistema di riferimento le velocità diventano
)
e
)
la quantità di moto totale quindi è nulla mentre l'energia cinetica è
^2)
.
Ora scrivendo le leggi di conservazione ( che per ogni urto valgono entrambe, quella della quantità di moto non vale quando si considerano processi in cui c'è di mezzo l'urto con il muro):
^2)
Ora qui i risultati sono semplici da trovare, poi visto che vogliamo tornare nel riferimento del muro si ha
e
e si trovano le due equazioni fondamentali del problema:
Ora esplicitando
nella seconda e sostituendolo nella prima, si può eliminare nella relazione che viene
scrivendo la prima come
esplicitando in questa
e sostituendo ( spero di essere stato chiaro in questi passaggi, se ce n'è bisogno scrivo tutti i calcoli ) viene:
Ora per questa uso il teorema che ha scritto simone dove
; allora le radici del polinomio vengono
e
Quindi si riesce finalmente a scrivere imponendo le condizioni iniziali
e
:
^n+(\frac{M-m-2i\sqrt{mM}}{m+m})^n))
e imponendo
si trova
^n=-(M-m-2i\sqrt{mM})^n)
; fortunatamente questi sono due numeri complessi ed hanno anche lo stesso modulo, quest'uguaglianza si può scrivere quindi come:
+i sen(narctg(2\frac{\sqrt{Mm}}{M-m})=-cos(narctg(2\frac{\sqrt{Mm}}{M-m})+isen(narctg(2\frac{\sqrt{Mm}}{M-m}))
e quindi la soluzione è:
})
Ho ridotto al minimo i calcoli, se ce n'è bisogno ditemelo che li metto
