32: Quantitá di Moto 2.0 [SNS 2008 n.5]
Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Viene un numero esatto, ma come ben sai difficilmente ci sará un momento in cui il blocco M sará perfettamente fermo! Il risultato è in generale un numero reale e si può dire che dopo un numero di urti pari alla sua parte intera il blocco M si muove ancora verso il muro, all'urto successivo però cambierá direzione!
There once was a classical theory,
Of which quantum disciples were leery.
They said, "Why spend so long
On a theory that's wrong?"
Well, it works for your everyday query!
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Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Questo può essere utile! Ho risposto a sall96 in messaggio privato ma presumo (e so) che è utile ad altre persone
Simone256 nel messaggio privato a sall96 ha scritto:Gran bel metodo!!!
Per la risoluzione della successione ci vuole un piccolo trick da olimpiadi di matematica ma niente paura!!!
Fallo così:
Se hai una ricorsione:
Per due reali,
... Trova le soluzioni
e
del polinomio:
E per magia la soluzione della ricorsione è:
Cone
costanti che ti ricavi imponendo le condizioni iniziali della successione! Così ti ricavi per esempio anche fibonacci... Prova! Se i conti sono proponibili credo riuscirai a risolvere il problema
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Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
visto che ho fatto davvero tanti conti ( e potrei anche averne sbagliato qualcuno ) prima di perdere un ora a scrivere la soluzione completa posto il risultato che mi viene ( che considerando che viene da dei calcoli fatti alle 3 di notte potrebbe essere sbagliato per errori di calcoli ):
})
Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Credo sia sbagliato per la simmetria del risultato! Se scambi m con M vedrai che il risultato non cambia anche se intuitivamente nel risultato corretto non dovrebbe essere così!
In ogni caso la scrittura della soluzione finale è molto simile!!!
Riguarda i conti
In ogni caso la scrittura della soluzione finale è molto simile!!!
Riguarda i conti
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Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Può darsi che la risposta giusta sia invece
})
A me scambiando
con 
cambiano le cose...
A me scambiando
Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Scusate ho sbagliato a digitare nel massegio! C è un segno meno tra le due m al denominatore, ora posto la soluzione 
Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Allora dico subito che non ho mai fatto tanta fatica a risolvere un problema di fisica nella mia vita, poi mi sono accorto che nessuno dei metodi che usavo mi portava a concludere perchè non conoscevo il teorema che ha scritto ieri simone
Cerco di spiegarlo il meglio possibile perchè il problema è parecchio bello:
durante tutto il processo l'energia totale si conserva mentre la quantità di moto totale delle due masse no perchè quando la massa piccola urta il muro la sua quantità di moto diminuisce ( prendendo come verso positivo quello che va dalla "zona delle masse" al muro ) del doppio della sua quantità di moto prima dell'urto con il muro; infatti se dopo un urto con la massa grande, la massa piccola ha una certa velocità, dopo aver urtato il muro ha la stessa velocità cambiata di segno.
Diciamo allora che
è la velocità di dopo l'ennesimo urto, mentre 
è la velocità di dopo l'ennesimo urto; prima dell'
esimo urto le velocità sono quindi e 
. Ora lo studio dell' esimo urto si può fare in vari modi: i cinesi generalmente lo fanno nel sistema di riferimento del muro perchè gli piace soffrire, se non siete cinesi la cosa migliore di solito è farlo nel sistema di riferimento del centro di massa ( io in realtà l'ho fatto nel sistema di riferimento della massa piccola, e forse vengono meno conti, però lasciamo stare metto la cosa più ovvia... ); prima dell'urto il centro di massa ha velocità 
, quindi cambiando sistema di riferimento le velocità diventano )
e )
la quantità di moto totale quindi è nulla mentre l'energia cinetica è^2)
.
Ora scrivendo le leggi di conservazione ( che per ogni urto valgono entrambe, quella della quantità di moto non vale quando si considerano processi in cui c'è di mezzo l'urto con il muro):
^2)
Ora qui i risultati sono semplici da trovare, poi visto che vogliamo tornare nel riferimento del muro si ha
e 
e si trovano le due equazioni fondamentali del problema:
Ora esplicitando nella seconda e sostituendolo nella prima, si può eliminare nella relazione che viene 
scrivendo la prima come 
esplicitando in questa e sostituendo ( spero di essere stato chiaro in questi passaggi, se ce n'è bisogno scrivo tutti i calcoli ) viene:
Ora per questa uso il teorema che ha scritto simone dove
; allora le radici del polinomio vengono 
e 
Quindi si riesce finalmente a scrivere imponendo le condizioni iniziali
e 
:
^n+(\frac{M-m-2i\sqrt{mM}}{m+m})^n))
e imponendo
si trova ^n=-(M-m-2i\sqrt{mM})^n)
; fortunatamente questi sono due numeri complessi ed hanno anche lo stesso modulo, quest'uguaglianza si può scrivere quindi come:
+i sen(narctg(2\frac{\sqrt{Mm}}{M-m})=-cos(narctg(2\frac{\sqrt{Mm}}{M-m})+isen(narctg(2\frac{\sqrt{Mm}}{M-m}))
e quindi la soluzione è:
})
Ho ridotto al minimo i calcoli, se ce n'è bisogno ditemelo che li metto
Cerco di spiegarlo il meglio possibile perchè il problema è parecchio bello:
durante tutto il processo l'energia totale si conserva mentre la quantità di moto totale delle due masse no perchè quando la massa piccola urta il muro la sua quantità di moto diminuisce ( prendendo come verso positivo quello che va dalla "zona delle masse" al muro ) del doppio della sua quantità di moto prima dell'urto con il muro; infatti se dopo un urto con la massa grande, la massa piccola ha una certa velocità, dopo aver urtato il muro ha la stessa velocità cambiata di segno.
Diciamo allora che
la quantità di moto totale quindi è nulla mentre l'energia cinetica è
Ora scrivendo le leggi di conservazione ( che per ogni urto valgono entrambe, quella della quantità di moto non vale quando si considerano processi in cui c'è di mezzo l'urto con il muro):
Ora qui i risultati sono semplici da trovare, poi visto che vogliamo tornare nel riferimento del muro si ha
e si trovano le due equazioni fondamentali del problema:
Ora esplicitando
Ora per questa uso il teorema che ha scritto simone dove
Quindi si riesce finalmente a scrivere imponendo le condizioni iniziali
e imponendo
Ho ridotto al minimo i calcoli, se ce n'è bisogno ditemelo che li metto
Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Ho letto il testo del problema che è stato dato all'ammissione sns e li c'era scritto di assumere 
e di dimostrare che 
è circa 
.
Ora se scriviamo il mio risultato come})
usando taylor per l'arcotangente (
) considerando che nel nostro caso 
possiamo usare solo il primo termine, e considerando poi che 
è trascurabile rispetto a 
si ottiene proprio 
. Spero però che per il caso si possa trovare una soluzione semplice che porta direttamente alla soluzione approssimata, altrimenti se mi fosse capitato a me il problema, tra l'agitazione del test, il tempo limitato ecc... avrei preso meno di un quarto dei punti per il problema...
Ora se scriviamo il mio risultato come
Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Benissimo la soluzione è corretta! Con lo sdoppiamento della tangente si ricava anche:
Con due passaggi algebrici anche Lasker aveva azzeccato!!! Picchiatevi pure per decidere chi mette il prossimo problema!!
Con due passaggi algebrici anche Lasker aveva azzeccato!!! Picchiatevi pure per decidere chi mette il prossimo problema!!
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Re: 32: Quantitá di Moto 2.0
Intanto metto l'Hint per una seconda soluzione molto ben figherrima:
Definendo
e 
, si ha che 
, con 
costante positiva.
Quindi ogni urto può essere identificato come un punto di una circonferenza...
Definendo
Quindi ogni urto può essere identificato come un punto di una circonferenza...
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They said, "Why spend so long
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