Simone256 ha scritto:
Poi francamente neanche la mia soluzione è eccezionale dato che derivo per trovare il massimo
Ecco appunto! anche a me viene quest' indecenza!
Bho le equazioni vengono impestatissime ( almeno le mie ) e a scriverle ci metterei una giornata quindi credo sia meglio che illustro il procedimento in modo chiaro senza mettere i calcoli! Per la ricerca del massimo stavo cercando un metodo geometrico però se non lo trovi tu che sei il matematico figurati se lo trovo io! Secondo me si puo fare se ci provi un po tu lo trovi ( io ho quasi perso le speranze ).
Il procedimento è questo:
Dopo l'urto la situazione come ho gia detto è quella di un corpo di massa
attaccato a una molla di lunghezza a riposo nulla che in quel momento è allungata di
e il corpo parte con velocità orizzontale
.
Ora si può dimostrare ( in circa 10 secondi ) che se un sistema è soggetto a forze conservative tali che la componente della risultante lungo un asse è dipendente solo dalla coordinata di quell'asse, oltre a conservarsi l'energia totale, si conservano anche tutte le singole parti dell'energia che sono i termini che uscirebbero fuori se l'unico moto fosse lungo quell'asse ( è più difficile a dirlo che a capirlo: per intenderci scrivo l'energia cinetica usando solo la componente della velocità lungo quell'asse e la sommo al potenziale della componente della risultante lungo quell'asse e questa quantità è costante nel tempo ). Il succo della storia è che posso associare a ogni direzione un energia e questa resta costante per ogni direzione ( attenzione questa roba vale solo nel caso in cui ogni componente della forza è dipendente solo dalla coordinata associta ). Ho gia scritto nel post di prima le equazioni del moto e si vede che in questo caso è così! Allora si possono scrivere le energie associate a ogni moto e uguagliarle alle condizioni iniziali:
Ora per semplicità se si introduce la variabile
=y(t)-\frac{2mg}{k})
Si può vedere banalmente che l'equazione del moto di
)
è identica a quella di
)
. Questo perchè
è la distanza misurata dal punto di equilibrio, cioè il centro dell'oscillazione verticale. Per trovare l'ampiezza delle oscillazioni si usano le equazioni delle energie imponendo che la massima ampiezza di ha a velocità nulla.
Vengono:
Ora resta da determinare lo sfasamento. Visto che se uno arriva qui ha gia fatto parecchi conti, non consiglio di imporre le condizoni iniziali ma di notare che all istante iniziale il moto orizzontale è nel centro mente quello verticale è a un estremo, e visto che i due moti hanno lo stesso periodo, significa che le oscillazioni saranno sfasate di
.
Ora è evidente che se un corpo oscilla contemporaneamente in due direzioni perpendicolari con lo stesso periodo e sfasare di 90, allora il moto sarà un ellisse che ha per semiassi le ampiezze delle oscillazioni ( se ci pensate si capisce subito, poi bho... io non la sapevo sta cosa però per l'importanza penso sia anche una cosa nota ). Ora il problema è praticamente risolto, resta semplicemente da scrivere l'equazione dell'ellisse nel piano x-z e poi col cambio di variabile nel piano x-y, e visto che a noi interessa il massimo di
e ora abbiamo una relazione che collega x a y, si scrive quella distanza in funzione di una sola variabile e facendo la derivata si trova il risultato.
Sicuramente come procedimento è corretto però ho gia detto che è orribile e non lo scriverei mai in gara... sono sicuro che esista qualcosa di parecchio più bello una volta trovate l'equazione dell'ellisse....
