13: Problemi Attraenti

[desga]

Scusate, c'è qualcosa che non mi torna con gli integrali.
In questo passaggio,

dove ho integrato in r in modo definito sostituendolo con a

tratti a come costante all'interno dell'integrale, ma a me sembra che a sia costante solo sulla superficie esterna, e non su tutto il volume. Sulla superficie esterna dovrebbe essere costante perchè, se per assurdo ci fossero due punti R e Q con a(R) < a(Q), potresti prendere la massettina contenuta in una regione attorno a R in cui a< (a(Q)+a(R))/2
(esiste per continuità di ) e trasferirla in una regione di Q in cui a > (a(Q)+a(R))/2 , ottenendo un incremento del campo totale.Tuttavia mi sembra che a possa variare all'interno: infatti se ti avvicini al punto P "da dentro" in maniera appropriata, ad esempio lungo delle rette, a diventa grande a piacimento.Mi sbaglio io?

[OrsoBruno96]

forse ho saltato troppi passaggi

quello che ho fatto è integrare così:



non così, che è diverso e sbagliato. se avessi voluto integrare in questo modo, avrei dovuto scrivere dr = f(da) e integrare in da, ma mi complicavo la vita inutilmente

ho capito quello che mi stavi contestando oppure mi stavi dicendo che non sei d'accordo su altro?

comunque sono d'accordo che a non è costante sul dominio di integrazione

[Simone256]

Comunque manca la dimostrazione che il coso ha simmetria cilindrica, che è secondo me una delle parti più belle del problema (e forse è più in stile olimpiadi di matematica che fisica...però potrebbero anche esistere dimostrazioni diverse da quella che ho trovato)

Per quanto possa avere senso una soluzione scritta da cellulare dal letto con la luce spenta...
Secondo te funziona sta cosa?

Ipotizziamo che il massimo si abbia per un corpo non a simmetria cilindrica, prendiamo la retta r passante per P avente la stessa direzione del campo gravitazionale generato in tale punto. Se ad una distanza d dal punto P su r la sezione (mediante un piano perpendicolare a r) non è circolare esisterá una dm con distanza maggiore da r. Quindi prendiamola e spalmiamola sul perimetro. Così la componente lungo r aumenta perchè si è diminuita la distanza complessiva della massa da P e si è diminuito l'angolo del campo generato da ogni parte di dm su P.
Quindi si fa così su tutte le sezioni e spero abbia senso!

Ho scritto molto male e potevo esporlo in maniera moooolto più chiara!
Ma è davvero tardi scusa

[phyknight]

ok, è giusta
solo che non so se uno che non ha mai visto una dimostrazione del genere capisce subito quello che hai scritto, quindi lascio solo qualche commento per i posteri:
perché simone ha preso la retta r per P? Perché è quella su cui il campo è massimo, per come è definito P
Cosa significa poi "spalmare sul perimetro"? Significa che prendo una sezione del mio oggetto perpendicolare a r. Se per assurdo la sezione non è un cerchio, allora considero l'area di questa superficie, e faccio il confronto tra il campo in P che mi da la superficie non circolare, e il campo che mi darebbe se la superficie fosse un cerchio di area con centro sulla retta r. In questo modo, come ha detto simone, si possono spostare i fuori dal cerchio di area all'interno di questo cerchio. Così diminuiscono angolo e distanza, e quindi il campo (proporzionale all'inverso di e a ) aumenta, il che è in contraddizione con l'assunzione di campo massimo in P.
Spero si sia capito qualcosa in più...(non credo)

[Simone256]

ok, è giusta
solo che non so se uno che non ha mai visto una dimostrazione del genere capisce subito quello che hai scritto, quindi lascio solo qualche commento per i posteri:
perché simone ha preso la retta r per P? Perché è quella su cui il campo è massimo, per come è definito P
Cosa significa poi "spalmare sul perimetro"? Significa che prendo una sezione del mio oggetto perpendicolare a r. Se per assurdo la sezione non è un cerchio, allora considero l'area di questa superficie, e faccio il confronto tra il campo in P che mi da la superficie non circolare, e il campo che mi darebbe se la superficie fosse un cerchio di area con centro sulla retta r. In questo modo, come ha detto simone, si possono spostare i fuori dal cerchio di area all'interno di questo cerchio. Così diminuiscono angolo e distanza, e quindi il campo (proporzionale all'inverso di e a ) aumenta, il che è in contraddizione con l'assunzione di campo massimo in P.
Spero si sia capito qualcosa in più...(non credo)

Di sicuro così è spiegata molto meglio grazie