In ogni caso non è vero che la velocità finale
dell'elettrone è parallela al vettore
, in tal caso infatti nessuna forza si opporrebbe alla forza magnetica che tenderà a curvare la traiettoria dell'elettrone. In realtà la velocità dell'elettrone, risultava nella figura diretta "verso sinistra" (e non verso destra come disegnato dagli infidi esaminatori
).
Sia
l'angolo che la velocità dell'elettrone forma, all'equilibrio, con la verticale. Siano poi
la forza elettrica,
quella magnetica,
quella di attrito. Scomponiamo le forze nelle direzioni parallela e perpendicolare alla velocità dell'elettrone. Sarà, all'equilibrio,
(1)
da cui si può trovare l'angolo
finale:
, dove e è la carica dell'elettrone. Si vede che theta dipende solo da fattori insiti nel sistema, considerazione utile nella terza domanda del problema.
Usando l'identità
, si ha sostituendo nella (1)
, da cui la velocità finale
.
Per il punto c, invece, usiamo la considerazione che theta è indipendente dalla velocità della particella. Siccome il problema indica che gli elettroni raggiungono la condizione di regime IN BREVE TEMPO, si può approssimare dicendo che la particella, entrata nella regione tra a e b (in cui il suo moto è rettilineo uniforme come specificato dal problema) "spara" gli elettroni costantemente in direzione di
. La d minima è quindi ottenuta quando la particella entra nella regione tra a e b con velocità parallela a
: in tal caso sarà infatti
(non proprio 0 perché comunque gli elettroni percorrono un certo spazio prima di arrivare a regime, inoltre a tali livelli non è più trascurabile il raggio della particella). Con la regola della mano destra si trova
.
Come è noto, la velocità
della particella rimane costante in modulo fintanto che è soggetta alla sola forza magnetica, e la particella descriverà un arco di circonferenza di raggio
. Disegnando l'arco suddetto, si vede che l'angolo al centro
che lo sottende, è uguale all'angolo che la particella formerà con la direzione di
una volta entrata nella regione tra a e b. Inoltre
. Ponendo quindi
, si ha
, da cui
)