Teorema di Bernoulli

Messaggio da **Pigkappa** » 14 mag 2014, 0:45

Nell'equazione del moto compare $(\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v$ , quindi quella relazione puoi usarla.

La regola di buonsenso in tutti i casi è quella di cercare di evitare il più possibile di mischiare i tensori nei conti e di limitarsi a operatori scalari, calcolando perciò $(\vec v \cdot \vec \nabla)$ e applicandolo a $\vec v$ , piuttosto che dover calcolare $\vec \nabla \vec v$ .

Comunque, dovresti trovare lo stesso risultato nell'altro modo. La mia familiarità nel giocare con i tensori in questo modo non è buona come vorrei, ma posso provarci. Provando a scrivere l'altra espressione in cartesiane (in altre coordinate queste cose risultano terribilmente complicate):
$\displaystyle (\vec v \cdot (\vec \nabla \vec v)) = \sum_{i=x,y,z}v_i \hat i \cdot (\sum_{j,k=x,y,z}\partial_j v_k \hat j \hat k) = \sum_i v_i (\sum_{j,k} \partial_j v_k (\delta_{ij} \hat k)) = \sum_{i,k} v_i \partial_i v_k \hat k = (\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v$

Riguardo alle equazioni di Navier Stokes, mi chiedo quale tipo di persona scriva ancora gli articoli in una lingua che non è l'inglese. Lasciamo che i suoi amici traducano tutto e poi preoccupiamoci della cosa...

Messaggio da **OrsoBruno96** » 14 mag 2014, 13:14

Però a me non torna: il prodotto scalare è commutativo quindi $\vec v \cdot \nabla = \nabla \cdot \vec v = 0$ per ipotesi
Ma se quella cosa lì fa 0, non torna fuori il teorema di Bernoulli

dove sto sbagliando?

Messaggio da **Pigkappa** » 14 mag 2014, 17:40

$\vec \nabla$ non e' un vero vettore, per cui non puoi commutarlo in quel modo

$\vec v \cdot \vec \nabla$ e $\vec \nabla \cdot \vec v$ sono due cose profondamente diverse: il primo e' un operatore, il secondo uno scalare!

Messaggio da **OrsoBruno96** » 14 mag 2014, 21:11

quindi mi stai dicendo che $\vec v \cdot \nabla$ non vale $\dfrac{\partial v_x}{\partial x}+\dfrac{\partial v_y}{\partial y}+\dfrac{\partial v_z}{\partial z}$ ma bensì $v_x \dfrac{\partial}{\partial x}+ v_y \dfrac{\partial}{\partial y}+ v_z \dfrac{\partial}{\partial z}$ perchè $\nabla$ ,essendo un operatore, non commuta?

Messaggio da **Pigkappa** » 15 mag 2014, 1:26

Sì, esatto! $\vec v \cdot \vec \nabla$ è un operatore, per cui lo devi applicare a una funzione. Ad esempio, applicandolo a $Q(t, x, y, z)$ ,

$(\vec v \cdot \vec \nabla) Q = \frac{\partial Q}{\partial t} + v_x \frac{\partial Q}{\partial x} + v_y \frac{\partial Q}{\partial y} + v_z \frac{\partial Q}{\partial z}$

Quando si scrive $(\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v$ , si intende che si applica $(\vec v \cdot \vec \nabla)$ a ogni singola componente di $\vec v$ ; perciò $(\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v$ è un vettore la cui componente y, per esempio, è:

$\hat y \cdot [(\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v] = \frac{\partial v_y}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_y}{\partial z}$

Messaggio da **Simone256** » 15 mag 2014, 15:37

Chiedo scusa per l'intromissione ignorante:
Che cos'è $\nabla$ ?
Anche un aggancino su Wikipedia o su qualche altro sito è ben accetto

P.s. Per i problemi di livello Pre-IPhO / IPhO sono necessarie conoscenze così approfondite di analisi? Per esempio gran parte di quello che è scritto in questo post per me è arabo... Le mie conoscenze di analisi si limitano ad impostare semplici equazioni differenziali, derivare e integrare le funzioni più note (per quelle complesse mi faccio aiutare da internet). Devo rimediare o posso evitare uno studio intensivo di analisi?

Messaggio da **Pigkappa** » 15 mag 2014, 16:27

Simone256 ha scritto:P.s. Per i problemi di livello Pre-IPhO / IPhO sono necessarie conoscenze così approfondite di analisi?

No.

Onestamente, averle aiuterebbe, ma se si considerano gli studenti in fascia alta (cioè, approssimativamente, quelli che entrano in SNS), stimerei che un 50% non ha idea di cosa siano queste cose, un 20% le ha viste di sfuggita e sa di non essere in grado di usarle, un 20% le ha viste di sfuggita e crede di saperle usare ma non e' vero, e un 10% le sa usare davvero. Quel 10% consiste in uno o due studenti all'anno…

Evita lo studio intensivo di analisi a meno di non essere particolarmente interessato.

Simone256 ha scritto:Chiedo scusa per l'intromissione ignorante:
Che cos'è $\nabla$ ?

http://en.wikipedia.org/wiki/Del

$\vec \nabla$ e' un "vettore fittizio" che in coordinate cartesiane e' costituito da $(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$ . Dico "fittizio" non solo perche', come puoi vedere, e' formato da tre operatori e non da tre numeri, ma anche perche' non ha davvero tutte le proprieta' dei vettori normali. Pero' ne ha molte, ed e' comodo per accorciare drasticamente la notazione. Invece di scrivere $grad\ f$ per indicare il gradiente di $f$ , e' comodo scrivere $\vec \nabla f$ , per esempio. Quando si studia l'elettromagnetismo, escono fuori molte combinazioni perverse di derivate parziali che in tantissimi casi possono essere scritte sinteticamente tramite l'operatore $\vec \nabla$ .

Una buona parte dei fisici non mette la freccia sopra a $\vec \nabla$ . Io ce la metto perché mi piace vedere al volo quali termini delle mie equazioni sono vettori e quali no e leggere cose come $\vec A + \nabla B$ mi sembra innaturale, ma se riuscite ad abituarvi alla notazione senza freccia, meno dispendiosa di inchiostro, probabilmente e' a vostro vantaggio.

Messaggio da **Simone256** » 15 mag 2014, 22:07

Grazie

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