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MMhh, forse non ti era chiaro perchè non avevo scritto il sistema di riferimento su cui mi ponevo. In effetti il sistema che consideravo era quello solidale con la particella, per cui la particella è all'inizio ferma.. Quindi tutte la varie riguardano l'energia totale che la particella ha quando sta ferma, mentre per il fotone l' vale in tutti i casi, che sia fermo o che sia in moto relativo..Inoltre quello che ho fatto è anche approssimare la costante gamma che sta davanti ad ogni M ,ad eccetto della massa del fotone, a 1 xkè V è significativamente più piccola alla velocità della luce. Comunque boh..di relatività non abbiamo fatto ancora niente..quindi molte idee sono solo ipotesi derivate da libri divulgativi..XD

L' era kmq un'errore di battitura..alle 3:30 del mattino è normale
p.s. se magari postassi qui la fonte dove hai trovato il problema, potrei studiarmelo prima da me senza rompere ancora

Ah ok, adesso è tutto più chiaro
Comunque in un problema di relatività generalmente non è lecito fare le approssimazioni valide per , altrimenti tutto l'aspetto relativistico della cosa si perde. Il problema l'ho preso da un compito di meccanica relativistica dato al secondo anno all'università di Pisa, e l'ho un po' semplificato (http://www.df.unipi.it/~rossi/fisa3_appello1_04.pdf problema R1; soluzione: http://www.df.unipi.it/~rossi/appello1_04_sol.pdf )

OOhhh!! grazie al link che hai postato finalmente ho capito quello che non mi tornava. Thx Come dicevi tu non era lecito calcolare la variazione di massa relativistica tramite leggi di conservazione "classiche", infatti ciò non va fatto. L'ipotesi "sbagliata" che consideravo alla base di tutto è che il grave si muoveva mmooolto lentamente (cosa per niente fuori dal comune) e quindi consideravo l'emissione del fotone come unico effetto relativistico(effetto che si conserva durante tutto il moto)! Per questo il ragionamento seguito sotto queste ipotesi a me sembrava "corretto" però porta ad una massa che considera soltanto il fotone come legato alla relatività e non anche la velocità v iniziale....Infatti facendo i calcoli considerando la soluzione di Pisa postata da Ippo e trascurando v rispetto a c viene la soluzione identica a quella postata prima!(potrebbe essere un caso?XD)

Riassumendo quindi, secondo me la richiesta del problema di trovare il cambiamento di massa va riformulata chiedendo di tenere conto anche degli effetti relativistici dell particella in moto dovuti alla velocità o di indicare almeno che la velocità v non era trascurabile ai fini del problema. Questa precisazione mi sembra che non sia evidentissima nel testo..

Nota: nonostante l'aver trascurato l'effetto della relatività dovuta alla velocità della particella, la massa della particella dopo il ritorno del fotone varia, diminuendo.

Nel testo lo dà per scontato. La cosa che emette il fotone potrebbe tranquillamente essere un atomo accelerato, per il quale non è irragionevole che sia, che ne so, .
Quello che andrebbe detto nel testo di un problema è quando si può fare un'approssimazione, non quando non si può fare. Se non ti dicono nulla, meglio fare le cose in generale

a priori un'approssimazione va fatta quando l'errore che introduce e' minore della precisione voluta
la versione classica dell'energia impone un errore circa di