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Non conoscevo il problema che mi sembra incredibilmente identico. Io l'avevo svolto con i vettori in un sistema in cui il centro di massa è l'origine . Per la massa , imponendo che la risultante delle forze gravitazionali ad opera delle altre due masse coincida con la forza centripeta e introducendo i vettori posizione delle masse , si ottiene


Confesso che la cosa più difficile è stata per me scrivere

in funzione dei vettori al primo membro per arrivare alla soluzione.

Possiamo quindi dire che per risolvere il problema:
Affermare che è costante visto che i raggi delle orbite sono costanti e il momento angolare si conserva;
Affinché le ipotesi siano rispettate le tre masse devono trovarsi per forza nei vertici di un triangolo equilatero.
Ma la domanda finale che chiede l'equilibri centrifugo non risulterebbe in tal caso "superflua"? Se è costante e i raggi delle orbite anche abbiamo semplici rotazioni attorno al centro di massa che non variano la geometria del sistema... Quindi l'ipotesi che il sistema sia in equilibrio centrifugo rientra nell'ipotesi che è costante! Quindi la domanda finale poteva essere cambiata da:
"Poi determinate le condizioni che devono essere soddisfatte da , , e perchè il sistema sia in equilibrio centrifugo (cioè non cambi la sua configurazione a parte la rotazione sopra descritta) dove r_{ij} è la distanza fra la stella i e la stella j."
in:
"Poi determinate le condizioni che devono essere soddisfatte da , , e perchè il sistema abbia veramente costante dove r_{ij} è la distanza fra la stella i e la stella j."

Non sono molto sicuro però... Tu cosa ne pensi?

Simone256 ha scritto:Possiamo quindi dire che per risolvere il problema:
Affermare che è costante visto che i raggi delle orbite sono costanti e il momento angolare si conserva;
Affinché le ipotesi siano rispettate le tre masse devono trovarsi per forza nei vertici di un triangolo equilatero.

Non sono d'accordo: che sia costante va dimostrato e non è un'ipotesi. Infatti il testo dice che "non è necessariamente costante"; pur supponendola uguale per le tre masse potrebbe variare nel tempo..Noi abbiamo dimostrato che, dovendosi conservare il momento angolare perchè è nullo il momento delle F.E. rispetto all'asse z, la velocità angolare era costante nel tempo.
E poi "affinchè le ipotesi siano rispettate......le tre masse devono trovarsi per forza(?) ai vertici...". Qui proprio non ti seguo: il triangolo equilatero viene fuori proprio imponendo l'EQUILIBRIO CENTRIFUGO così come viene fuori il valore di . Infatti il senso del problema è proprio questo: affinchè ci sia l'equilibrio centrifugo - che è la vera e unica IPOTESI - come deve essere e che valore deve avere, come devono essere le mutue distanze fra le masse e che valore devono avere? La nostra risposta è stata: non può esserci senza che la velocità angolare e le mutue distanze siano così e così...

Simone256 ha scritto: Ma la domanda finale che chiede l'equilibri centrifugo non risulterebbe in tal caso "superflua"? Quindi l'ipotesi che il sistema sia in equilibrio centrifugo rientra nell'ipotesi che è costante! Quindi la domanda finale poteva essere cambiata in:

La domanda finale non chiede affatto l'equilibrio centrifugo ma le condizioni sulla velocità e le mutue distanze che lo assicurano! E l'ipotesi di equilibrio centrifugo non rientra affatto in quella di costante giusto perchè costante è una delle TESI da dimostrare!
Quindi secondo me i tuoi dubbi non sono legittimi.

poor ha scritto:

Simone256 ha scritto:Possiamo quindi dire che per risolvere il problema:
Affermare che è costante visto che i raggi delle orbite sono costanti e il momento angolare si conserva;
Affinché le ipotesi siano rispettate le tre masse devono trovarsi per forza nei vertici di un triangolo equilatero.

Non sono d'accordo: che sia costante va dimostrato e non è un'ipotesi. Infatti il testo dice che "non è necessariamente costante"; pur supponendola uguale per le tre masse potrebbe variare nel tempo..Noi abbiamo dimostrato che, dovendosi conservare il momento angolare perchè è nullo il momento delle F.E. rispetto all'asse z, la velocità angolare era costante nel tempo.

Sì con "affermare" intendevo "dimostrare" visto che basta tirare in ballo la conservazione del momento angolare.

Ora cerca di seguirmi: se è costante e pertanto le masse si muovono di moto circolare uniforme attorno il centro di massa non otteniamo direttamente l'equilibrio centrifugo? Il fatto che sia costante per ipotesi (e con "per ipotesi" intendo che avendolo dimostrato in una riga sopra ora è una nostra ipotesi) implica la stabilità della geometria del sistema.
Dopotutto per imporre l'equilibrio centrifugo abbiamo imposto che la risultante delle forze di due generiche masse fosse diretta lungo la congiungente "terza_massa - centro_di_massa". Ma questo rientra nelle ipotesi iniziali, dove questa terza massa deve ruotare attorno al centro di massa con la nostra velocità angolare .
La domanda quindi è: è possibile avere un sistema dove le masse ruotano con velocità angolare costante attorno al centro di massa tale che non si abbia l'equilibrio centrifugo?

Simone256 ha scritto: La domanda quindi è: è possibile avere un sistema dove le masse ruotano con velocità angolare costante attorno al centro di massa tale che non si abbia l'equilibrio centrifugo?

No, non è possibile se LA VELOCITA' ANGOLARE E LE MUTUE DISTANZE FRA LE MASSE NON SODDISFANO CERTE CONDIZIONI che appunto si dovevano trovare e che costituivano il problema. Cioè noi, sapendo che la velocità angolare è costante e che rimangono invariate le mutue distanze, DOBBIAMO TROVARE QUANTO DEVE VALERE LA VELOCITA' E QUANTO DEBBONO VALERE QUESTE DISTANZE per assicurare l'equilibrio centrifugo. Perchè non sarebbe possibile equilibrio centrifugo senza quei valori. Non basta dire che la v.a. è costante così come le mutue distanze perchè ci sia equilibrio centrifugo. Dati valori a caso, seppur COSTANTI per queste grandezze, l'equilibrio non ci sarebbe.
Io non so come spiegarmi: ho provato anche le lettere maiuscole!
Comunque, siccome continuiamo a non essere d'accordo sul senso del problema, direi di soprassedere poichè la cosa, a problema risolto correttamente, non ha importanza.

Lo so ma non riesco a trasmetterti il senso della domanda!
Quello che cerco di dire è che secondo me (potrei essere benissimo nel torto ma in questo caso chiedo una possibile spiegazione) nel momento in cui sappiamo che è costante (dopo averlo dimostrato), possiamo dire direttamente equilibrio centrifugo! E' come fare una rotazione del triangolo usando come centro di rotazione il suo centro di massa... Un movimento banalmente rigido! Se questa proposizione logica è corretta: costante implica equilibrio centrifugo allora per ricavare i valori di e delle mutue distanze tra le masse non ci resta che utilizzare come ipotesi solamente il fatto che sia costante! Nella risoluzione con i vettori abbiamo entrambi posto la somma vettoriale delle forze di ogni singola massa uguale ad una forza diretta verso il centro di massa; da dove deriva questo ragionamento? A parer mio deriva dal fatto che la massa attratta deve subire una forza risultante diretta verso il centro di massa per permetterle il moto circolare attorno ad esso. In nessun passaggio abbiamo utilizzato il fatto che fosse costante nel tempo. Per questo mi viene il dubbio! Se ci fosse un caso qualsiasi di masse che ruotano a velocità angolare costante attorno al loro centro di massa tali che però il loro sistema non sia in equilibrio centrifugo allora il mio ragionamento ( costante implica equilibrio centrifugo) cadrebbe inesorabilmente.
(Se non vuoi rispondermi per evitare di insultarmi non ti preoccupare ).

E' assurdo insultare per queste divergenze. Io sono, come probabilmente te, aspirante a una scuola d'eccellenza. Non sono mica un professore..
Io penso che se noi vogliamo far ruotare il sistema a velocità costante, questa e le mutue distanze debbono soddisfare a certe condizioni e avere valori che vengono appunto chiesti nel problema. Ciò non può accadere con valori arbitrari perchè altrimenti le masse si muovono reciprocamente tanto da cambiare i singoli valori della velocità angolare proprio perchè non può sussistere l'equilibrio centrifugo. Io non riesco a capire altro, tu forse sei più profondo. D'altra parte mi hanno spiegato che i progressi della scienza si sono sempre verificati quando qualcuno ha negato ciò che affermavano tutti.

poor ha scritto:Ciò non può accadere con valori arbitrari perchè altrimenti le masse si muovono reciprocamente tanto da cambiare i singoli valori della velocità angolare proprio perchè non può sussistere l'equilibrio centrifugo.

Su questo non ci sono dubbi
Mi chiedevo se trovare i valori necessari per avere costante coincidesse con trovare i valori per ottenere l'equilibrio centrifugo.
Forse non riesco a spiegarmi

Il sistema rimane in rotazione rigida con costante <===> c'è equilibrio centrifugo.

Ti ringrazio!