Caduta di un oggetto verso la Terra

[Gia91]

Provando ad impostare la conservazione dell'energia:



dove D è la distanza iniziale del corpo dal centro attrattore ed r la posizione generica compresa ovviamente tra zero e D (il sistema di riferimento ha origine nel corpo attrattore). Con alcuni passaggi si ricava:



Integrando:





Da qui si ottiene che il tempo di caduta t è:



Questo mio ragionamento parte dal famoso problema cui si è accennato (la Terra che improvvisamente si ferma e inizia a cadere) senza il trucco dell'ellisse schiacciato Ma per la legge oraria??

[Gauss91]

La legge oraria è l'inverso di quella funzione che hai trovato.
Ora, quella funzione non è invertibile utilizzando funzioni elementari (log, sin, potenza, esponenziale, ecc...) ma si può esprimere solo in altri modi più avanzati e penso per ora fuori dalle nostre competenze . Quindi si deve rinunciare a trovare la legge oraria (al livello olimpico ma penso anche primo-universitario...)

Comunque il metodo che hai usato tu è valido, ed è proprio il trovare t = f(x) come ho postato all'inizio del thread.

[Gia91]

Quindi questo signfica che è "impossibile" trovare la legge oraria di un moto con accelerazione non costante? perchè alla fine il problema si riduce a quello..... o sbaglio?

[Nagdhar]

Secondo il mio modesto parere, credo che sia possibile raggiungere lo stesso risultato fornito da Gia91 senza calcoli integrali ripescando l'approssimazione del moto dei pianeti come moto pendolare pensata da Robert Hooke qualche tempo fa. Nella formula che tutti noi conosciamo del periodo del moto pendolare, basta sostituire l'accelerazione di gravità con il campo gravitazionale generato dal pianeta terra (GM/d^2) per ottenere col minimo sforzo lo stesso risultato. Nel nostro caso particolare, essendo l'oggetto di massa nettamente inferiore rispetto alla Terra, la sua rotazione avviene intorno "ad un ellisse di eccentricità uguale a 1", insomma intorno ad un'ellisse degenere.
Se per invertire l'equazione non vi è riuscito neanche il derive... Amen !

[Gauss91]

la sua rotazione avviene intorno "ad un ellisse di eccentricità uguale a 1", insomma intorno ad un'ellisse degenere

Questo è proprio il famigerato barbatrucco dell'ellisse! ahah

Quindi questo signfica che è "impossibile" trovare la legge oraria di un moto con accelerazione non costante?

No, questo significa che non si può trovare (usando funzioni elementari) la legge oraria di questo particolare moto, cioè corpo accelerato da un campo gravitazionale.

[Gia91]

No, questo significa che non si può trovare (usando funzioni elementari) la legge oraria di questo particolare moto, cioè corpo accelerato da un campo gravitazionale.

Ecco questo almeno è rincuorante

[Ippo]

No, questo significa che non si può trovare (usando funzioni elementari) la legge oraria di questo particolare moto, cioè corpo accelerato da un campo gravitazionale.

Ecco questo almeno è rincuorante

purtroppo i casi in cui l'equazione differenziale ha una soluzione esprimibile in modo esplicito (i moti per cui nota la forza puoi trovare la legge oraria) sono veramente pochi: moto armonico eventualmente smorzato da un attrito viscoso (equazione lineare) e poco altro. Spesso bisognerà accontentarsi di trovare t(x) e girare il grafico, o di soluzioni numeriche, o di approssimazioni locali.
Abituatevi all'idea