Forum OLIFIS

Beh, modestamente ... non ero nemmeno convinto della mia soluzione, ma i passaggi matematici mi sembrano un bel po' complessi.
Qualcuno potrebbe chiarirli un po' più nel dettaglio?
Come si possono ricavare o dove si possono trovare le approssimazioni sugli angoli introdotte da Ippo nella dimostrazione?

Ippo ha scritto:

beh, il primo termine è l'energia potenziale guadagnata, che eguaglia l'energia cinetica persa, entrambe scritte in funzione dell'angolo e della velocità angolare

sostituire con è lo sviluppo del coseno con la serie di Taylor, per vicino allo zero... Un pò fuori la matematica "olimpica"

Carmelo ha scritto:E, al contrario, se la mia situazione iniziale è di avere la palina in cima alla circonferenza (in equilibrio instabile) e io la faccio muovere con la classica spinta infinitesima...

sì, il punto era considerare la spinta un po' troppo "infinitesima" ^^
comunque ha bisogno di un certo tot di energia addizionale... carino!

Carmelo ha scritto:sostituire con è lo sviluppo del coseno con la serie di Taylor, per vicino allo zero... Un pò fuori la matematica "olimpica"

Ma non fuori dalla "fisica olimpica", è una cosa perfettamente standard per le olimpiadi!

uhm... si, spesso e volentieri queste approssimazioni sono una parte fondamentale del problema, ma magari non ti viene chiesto di dedurle tu dal nulla... voglio dire, ho trovato spesso i suggerimenti in fondo al problema in cui ti si dice: possiamo considerare o roba del genere...

non vorrei dire con questo che si può contare in maniera eccessiva sugli aiuti, è ovvio che l'intuizione per applicare alla realtà del problema il nostro espediente matematico (e per prima cosa riconoscere le condizioni che te lo permettono) è una competenza importantissima... La domanda allora è: c'è la tendenza a fornirli, questi "hint" alla soluzione? specie negli ultimi anni, secondo me si

PS mi scuso se stiamo andando un tantinello off-topic

Ciao a tutti!
Non sono in età da Olimpiadi, però mi piace la Fisica e mi piacerebbe ogni tanto dare un mio piccolo contributo

Stardust ha scritto:Come si possono ricavare o dove si possono trovare le approssimazioni sugli angoli introdotte da Ippo nella dimostrazione?

Senza scomodare le serie di Taylor (strumento comunque importantissimo in Fisica), se hai familiarità con i limiti (più alla portata di uno studente liceale) quelle approssimazioni possono anche essere dedotte da due limiti notevoli:

e

e applicando poi il principio di sostituzione.

Questo problema è molto interessante e la divergenza del tempo si può far vedere anche in un altro modo (comunque però poco elementare ma spero interessante per chi riuscirà a seguirlo). L'energia cinetica è la differenza fra l'energia meccanica e l'energia potenziale :

da cui otteniamo l'equazione differenziale

Sviluppando in serie di Taylor (ecco che tornano in mezzo le serie di Taylor) con punto iniziale (cioè il punto più alto, preso per semplicità come riferimento per gli angoli) abbiamo

Ora, perché nel punto più alto la velocità è nulla, inoltre e perché è un punto di massimo per l'energia potenziale. Quindi

e ha perciò senso mettere sotto radice. In più da questa approssimazione vediamo che va come , quindi nell'equazione differenziale abbiamo

da cui, per separazione delle variabili

Integrando si trova che il tempo diverge logaritmicamente.
Ci tengo a precisare che la dimostrazione non è mia, però volevo condividerla con voi.

Credo, ma non ne sono completamente certo, che questo risultato sia valido in generale, cioè che una particella non può raggiungere in tempi finiti un punto di equilibrio instabile, a velocità nulla (e ciò, dal punto di vista fisico, ha a che fare con la simmetria del tempo citata più sopra)