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Allora
L'energia che viene spesa è quella stessa del condensatore. Considerando che è stato scollegato, la carica sulle armature si mantiene costante e la spesa di energia corrisponde ad aumento della capacità dello stesso. (come si vede dalla seconda formula che ho scritto)
Provando però quantitativamente non capisco come esprimere l'energia, dato che rimane un incognita

o


Ma la carica o la d.d.p??
Posso valutare l'energia persa come differenza tra energia finale calcolando la nuova capacità del sistema con l'olio e quella iniziale a condensatore vuoto ed eguagliarla a mgh, dove h dovrebbe essere la metà dell'altezza 2h raggunta dalla superficie dell'olio. (considero in qualche modo il "centro di massa" dell'olio salito nel condensatore)

Hai ragione, non sono stato chiaro. scolleghiamo il condensatore e lasciamo Q costante. (in ogni caso si poteva escludere il caso V=costante, perché il dielettrico tra le piastre avrebbe aumentato l'energia del sistema, quindi non avrebbe avuto motivo di salire)

L'energia iniziale del sistema è

Quando la colonna di olio raggiunge una frazione x dell'altezza totale del condensatore, l'energia è

dove abbiamo introdotto l'espressione per e il termine gravitazionale (l'energia potenziale di una massa il cui c.d.m. si trova ad un'altezza , come dici tu)
A questo punto ci sono alcune regioni in cui la x può variare e altre a cui non può arrivare. In particolare c'è un valore massimo X (quello richiesto dal problema), e tra x=0 e x=X c'è un minimo (il cui calcolo però non è troppo divertente). Accade che l'olio oscilla su e giù tra x=0 e x=X, e se consideriamo gli attriti andrà a fermarsi dopo un po' di tempo alla quota d'equilibrio.

Risulta quindi che X è tale che da cui (a questo punto faccio pure i conti)


Escludendo la soluzione banale X=0 possiamo dividere per H e ottenere


da cui infine

(si scarta la soluzione col - che è irrilevante fisicamente)