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Gauss91 ha scritto:Questi percorsi possono essere visti come collegamenti in parallelo da a a b

No, non possono. Questi percorsi "si intersecano", perchè ci sono solo 4 resistenze che circondano B, e ogni percorso da A a B dovrà passare da almeno una di queste.

R'=R/2 dove R' è la resistenza equivalente tra due nodi contigui.
Immaginare di far entrare una corrente in un nodo; essa si divide in 4 parti uguali
la ddp ai capi della resistenza tra i due nodi contigui è ........
e di farla uscire dal nodo contiguo in cui convergono 4 correnti uguali la cui somma è
uguale a quella entrata nell'altro nodo; anche in questo caso la ddp ai capi della resistenza
tra i due nodi presi in esame è ........ .
Sommare gli effetti e ........

Lascio ad altri il completamento dei ragionamenti e le deduzioni.

Complimenti a Senior che ha avuto l'idea geniale per risolvere il problema... E' comunque importante che capiate bene come si fa e che sappiate spiegare bene la soluzione, perciò qualcuno la espliciti chiaramente.


È importante anche perchè questo problema due anni fa è stato proposto all'orale dell'ammissione alla S.N.S., ed è quasi impossibile risolverlo lì per lì senza averlo già visto, secondo me.

anche io ci ho pensato ma l'ho scartato: non può uscire la corrente in quattro direzioni da un nodo, altrimenti sarebbe una sorgente di cariche! per la prima legge di kirchoff, in ogni nodo di un circuito la corrente in entrata deve uguagliare quella in uscita.
Al massimo può dividersi in tre direzioni, dato che una direzione è occupata dalla corrente in entrata.
O no?

La corrente viene inviata o estratta da un nodo con un generatore esterno per cui nel punto confluiscono cinque rami.

Visto che la corrente in entrata dal generatore ad un nodo A si divide in 4 parti uguali e quella in uscita dal nodo adiacente B è la somma di 4 correnti pari ciascuna a i/4 (A e B sono i punti contigui in cui viene applicata la differenza di potenziale V), si presume che lungo il ramo AB e attraverso la resistenza R compresa passi una corrente
.
La caduta di potenziale di questo ramo è .
Collegando il generatore si crea un parallelo tra la resistenza R e il resto della griglia infinita, per cui V è la ddp e pure la caduta di potenziale di R e della resistenza complessiva data dalla parte rimenente della griglia.
Si può scrivere:
.
Da ciò a me viene:
.
Non capisco cosa significhi quel "sommare gli effetti" scritto da Senior: forse sbaglio nel calcolare la corrente tra A e B?
Chi mi dà una mano?

Stardust ha scritto:forse sbaglio nel calcolare la corrente tra A e B?

Sì, sbagli. Giustifica tutto quello che dici. Perchè la corrente in entrata nel generatore in A si divide in 4 parti uguali (cosa che peraltro è falsa, se si applica una tensione ad A ed una tensione a B)?

In effetti non ho una giustificazione valida per la divisione della corrente in parti uguali su ogni ramo...
Però non saprei nemmeno immaginare una distribuzione diversa della corrente.
Se su A e su B si applicano rispettivamente voltaggi +V e -V, allora l'intera ddp diventa
.
In ogni caso si rischia non poca confusione tra la V che ho usato io precedentemente come differenza di potenziale complessiva data dal generatore e la V indicata da Pigkappa. Converrebbe usare una notazione comune?

Vabbè, non ha importanza, diciamo che ad A applichiamo ed a B . Come avevo detto, la soluzione di Senior è giusta ma (volutamente) non ha spiegato tutto nei dettagli, a voi il compito di ricostruirla!

Nel procedimento di Senior in A entra dall’esterno una corrente 4i, che per simmetria si divide in parti uguali “i” nelle quattro resistenze partenti da A e nel contempo da B vi è assenza di corrente. Se invece in A non si introduce corrente, mentre si preleva una corrente 4i da B, vuol dire per simmetria che ciascuna R collegata in B è attraversata dalla corrente “i”. Quando 4i viene immessa in A ed estratta in B, le due situazioni precedenti si sovrappongono. Pertanto nella R tra A e B deve circolare 2i e si ottiene ; risulta che la resistenza della rete tra A e B vale .