pascal ha scritto:Perché nei due regimi di corrente si ha la stessa resistenza?
Ripercorro le due dimostrazioni.
a) Per I=costante:
, ma
)
con r incluso in
e perciò
)
b) Per J=costante:
=\frac{ E dx}{J \pi r^2}=\frac {\rho J dx}{J \pi r^2}=\frac{\rho dx}{\pi r^2})
Quindi
e le due resistenze sono uguali.
Nel modo a) la corrente I è dovuta alla tensione V ed R=V/I.
Nel modo b) possiamo pensare di suddividere il tronco in tanti cilindretti, attraversati dalle correnti
, a loro volta provocate da generatori che applicano le tensioni appropriate
. Il rapporto
fornisce la resistenza del generico cilindretto. Assemblando i cilindretti si ottiene il tronco, che corrisponde ad un insieme di resistenze in serie e pertanto
.
I due procedimenti conducono allo stesso risultato perché, una volta stabilito il percorso della corrente, la resistenza del tronco deve essere indipendente dalla modalità di calcolo, a parità di
.
Vorrei aggiungere un commento a quanto dice Pascal.
Secondo me il fatto stesso di considerare J costante lungo un percorso a resistenza variabile contrasta col principio di resistenze in serie e quindi non ha significato calcolare la resistenza globale di un circuito di tal genere. Infatti se supponiamo la J costante dobbiamo supporre corrente in aumento con l'aumentare della sezione del conduttore, il che significa immaginare un modello costituito da tante dR in serie dove tra l'una a l'altra c'è una diramazione dalla quale proviene una dI. A questo punto che senso ha parlare di resistenza complessiva? Ha senso parlare solo di V complessiva, ma per calcolare questa presunta resistenza per quale valore di corrente vogliamo dividere questa V totale? la dividiamo per la corrente iniziale, quella che entra nella sezione a del conduttore, oppure per quella che esce dalla sezione b?
Allora tiriamo la monetina e scegliamo ad esempio la sezione iniziale.
Poiché la J è costante anche il campo elettrico lungo il conduttore è costante, dunque la tensione totale è
. Dividendo per la corrente alla sezione a si ha:
che è ben diverso dalla resistenza che si ottiene a I costante, dove le la resistenza totale si può effettivamente calcolare come somma di resistenze infinitesime:
I due calcoli coincidono solo se nel caso a J costante cambiamo la definizione che ho usato per la resistenza, assumendo come corrente di riferimento non quella alla sezione iniziale ma la media geometrica tra la corrente alla sezione a e la corrente alla sezione b. Però in questo modo abbiamo reso uguali i risultati dei due metodi solo grazie a un arbitrio di definizione. Se prendevamo qualunque altro riferimento di corrente il calcolo non veniva uguale.
Insomma, il modello a J costante anche se proposto dall'autore del problema secondo me è proprio sbagliato perché in questo caso non si può nemmeno parlare di resistenza totale del conduttore.
, quindi l'area sarà
(5).