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Allora torniamo sul punto c del problema, ricordando le relazioni matematiche individuate finora e prive di incertezze. Innanzi tutto con la conducibilità variabile la resistenza complessiva del resistore risulta essere:
$R'_{tot}={\frac{a^k}{2{\pi}{\sigma}_alk}}({{\frac{1}{a^k}}-{\frac{1}{b^k}}})$ .
Poi abbiamo che il campo elettrico è dato da:
$E=J/{\sigma}$ :
Visto che sia la densità di corrente J che la conducibilità sono in funzione del raggio è chiaro che in un modo o nell'altro anche il campo elettrico presenterà una qualche dipendenza dalla distanza r considerata. Ne consegue infatti:
$E(r)={\frac{J(r)}{{\sigma}(r)}}$
Ricordando che l'intensità di corrente vale $i={\Delta}V/R'_{tot}$ ,
che l'area "laterale" di un cilindro è $A=2{\pi}lr$ ,
si può riprendere il risultato ottenuto per la resistenza complessiva e scrivere:
$E(r)={\frac{\frac{i}{A}}{{\sigma}_a{\frac{r^k}{a^k}}}}={\frac{a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}r^{-k-1}$ .
A questo punto facciamo alcune considerazioni sul flusso elettrico. Essendo il prodotto scalare tra il vettore rappresentante la superficie e il vettore indicante il campo elettrico E, è pacifico che se E si dispone radialmente intorno all'asse di simmetria del resistore, non ci sarà alcun flusso alle sue basi, i cerchi che lo chiudono alle due estremità.
I nostri ragionamenti vanno perciò limitati al flusso che fuoriesce o entra attraverso la superficie laterale del cilindro. Usando la legge di Gauss si ottiene che ad una generica distanza r, il flusso che interessa la corrispondente superficie gaussiana vale:
$\Phi={\frac{q}{\varepsilon}}=(ne)W/{\varepsilon}=EA={\frac{2{\pi}a^kb^k{\Delta}Vkl}{b^k-a^k}}r^{-k}$ .
IL termine W è ovviamente il volume ( $W={\pi}(r^2-a^2)l$ ) del cilindro di raggio r in questione.
Ora vediamo qual è il valore della carica q per "r" e "r+dr":
$q_1={\frac{2{\pi}{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vkl}{(b^k-a^k)}}r^{-k}$
e
$q_2={\frac{2{\pi}{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vkl}{(b^k-a^k)}}(r+dr)^{-k}$ .
Quindi la differenza tra queste due cariche corrisponde alla carica contenuta nel sottile "involucro" di spessore dr, esterno al generico cilindro di raggio r:
$q_2-q_1= {\frac{2{\pi}{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vkl}{(b^k-a^k)}}[{{\frac{1}{(r+dr)^k}}-{\frac{1}{r^k}}}]$ .
Provo a considerare che il volume dW, ovvero lo spazio compreso tra i due cilindri, è pari a
$dW={\pi}[(r+dr)^2-r^2]l$ .
Quindi la densità di carica in questo spazio dovrebbe essere:
$d(ne)={\frac{q_2-q_1}{dW}}={\frac{dq}{dW}}$ .
Questa si traduce nell'espressione:
$d(ne)={\frac{2{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-r^2]}}[{{\frac{1}{(r+dr)^k}}-{\frac{1}{r^k}}}]$
E ora come si dovrebbe proseguire? Mi sembra che ci sono troppi dr in giro nell'equazione qui sopra. Magari bisogna porre $dr \rightarrow 0$ da qualche parte?

Approssimazione da ricordare sempre:

$(1+x)^k \approx 1 + kx$ per $x << 1$ , sia per $k$ positivi che negativi.

Ok, allora è possibile avere una semplificazione significativa:
$d(ne)={\frac{2{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-r^2]}}({\frac{1}{r^k(1+dr/r)^k}}-{\frac{1}{r^k}})$
da cui
$d(ne)={\frac{2{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-r^2]}}({\frac{1}{r^k(1+kdr/r)}}-{\frac{1}{r^k}})$ .
Conviene quindi semplificare ulteriormente la parte finale ottenendo:
$d(ne)={\frac{2{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-r^2]}}({\frac{1}{r^k+kr^{k-1}dr}}-{\frac{1}{r^k}})$ .
Si può anche notare che la differenza dei quadrati dei raggi nell'equazione sopra si può ricondurre a:
$(r+dr)^2-r^2=r^2+2rdr+dr^2-r^2=2rdr+dr^2$ .
Dato che dr è gia infinitesimo, il suo quadrato è praticamente ininfluente ai fini del risultato e si ha:
$(r+dr)^2-r^2=2r\;dr$ .
Alla fine si ottiene la seguente formula:
$d(ne)={\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk^2}{(b^k-a^k)}}({\frac{1}{r+kdr}})$ .
Purtroppo non capisco come continuare.
Mi sembra di capire che è necessario trovare una funzione che descriva l'andamento di ne, e quindi mi pare strana la presenza del termine dr, che in genere io uso solo per integrali e differenziali.
Non è un problema? In seguito cosa bisognerebbe fare?

Stardust ha scritto: $}({\frac{1}{r^k(1+dr/r)^k}}-{\frac{1}{r^k}})$
da cui
$({\frac{1}{r^k(1+dr^k/r^k)}}-{\frac{1}{r^k}})$ .

No! Prova a fare i conti partendo da questo:

$(\frac{1}{r^k(1+dr/r)^k} - \frac{1}{r^k}) = \frac{1}{r^k} ( (1 + dr/r)^{-k} - 1) \approx \frac{1}{r^k} (1 - k \frac{dr}{r} -1) =$
$= - \frac{1}{r^k}\frac{dr}{r}$

Vuoi arrivare ad una espressione del tipo $d(ne) = F(r) dr$ (dove F è una funzione) in modo da poter integrare in $dr$ .

Allora rifaccio l'approssimazione nel modo consigliato (e senza effetti indesiderati, spero):
$d(ne)={\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}{\frac{1}{r^k}}[{(1+dr/r)^{-k}-1}]$ .
Da ciò si verifica:
$d(ne)=-{\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}{\frac{k}{r^{k+1}}}\;dr$ .
Mi auguro che questa sia la formula desiderata per l'integrazione.
Quindi si prosegue:
$ne=\int_a^b -{\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk^2}{b^k-a^k}}{\frac{1}{r^{1+k}}}\;dr$
da cui
$ne=-{\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk^2}{b^k-a^k}}{\int_a^b {r^{-k-1}}}\;dr$ ,
poi
$ne=-{\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk^2}{b^k-a^k}}[-{\frac{1}{k}}{\frac{1}{r^k}}]_a^b$
ed infine
$ne={\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}(1/b^k-1/a^k)$ .
Tutto ciò si può sintetizzare in
$ne={\frac{{\varepsilon}a^kb^k{\Delta}Vk}{b^k-a^k}}{\frac{a^k-b^k}{a^kb^k}}=-{\varepsilon}{\Delta}Vk$ .
Dico subito che il meno davanti ad una densità mi suona strano, ma forse si può giustificare con il fatto che "e" ha un valore negativo (argomentazione non molto forte, a dir l verità).
Vediamo cosa esce con il controllo dimensionale...
$ne=[C^2/(Nm^2)]V=[C^2/(Nm^2)](J/C)=(C/Nm^2)(Nm)=C/m$ .
Evidentemente c'è qualcosa che non funziona...
E non riesco a trovare l'errore.

Dunque, le seguenti cose:

1)Il rapporto tra la carica contenuta tra le due superfici cilindriche a $r$ e $r+dr$ ed il volume di tale regione di spazio è proprio la densità di carica (che in tale tratto possiamo considerare uniforme, perchè $dr$ è molto piccolo), per definizione. Quindi non devi scrivere $d(ne)$ ma proprio $ne$ .
2)Ti sei perso un $(r+dr)^2-r^2$ al denominatore (e anche questo termine lo devi approssimare opportunamente...) passando dal post delle 13 a quello delle 15.

Dovresti essere a un passo dal risultato

Beh, pure a me sembrava anomalo chiamare dq/dW "d(ne)".
Apportando le correzioni suggerite da Pigkappa si ottiene questa benedetta equazione per la densità di carica.
Quindi riepilogo un attimo tutti gli ultimi passaggi per chiarirmi le idee:
$ne={\frac{dq}{dW}}={\frac{2{\varepsilon}a^k b^k{\Delta}Vk}{(b^k-a^k)[(r+dr)^2-dr^2]}}({\frac{1}{r^k}})[(1+{\frac{dr}{r}})^{-k}-1]$ .
Introduco le approssimazioni:
$(r+dr)^2-r^2 {\simeq} 2r\;dr$
e
$(1+{\frac{dr}{r}})^{-k} {\simeq} 1-k{\frac{dr}{r}}$ ,
arrivando alla formula:
$ne=-{\frac{{\varepsilon}a^k b^k {\Delta}Vk}{(b^k-a^k)r^{k+2}\;dr}}k\;dr$ .
Fortunatamente il dr scompare (evitando così qualunque integrazione) e si giunge alla vera e propria funzione:
$ne=-{\frac{{\varepsilon}a^k b^k {\Delta}Vk^2}{b^k-a^k}}r^{-k-2}$ .
Non ci posso credere, (forse) ce l'ho fatta!
A meno di ulteriori errori commessi, non mi spiego il senso fisico del "-" davanti ad una densità.
Dipende forse dal fatto che i portatori di carica sono gli elettroni, notoriamente con carica negativa?
O deriva dal valore assunto dalla differenza di potenziale?
P.S.: Grazie per la pazienza, Pigkappa.

Una densità di carica negativa vuol semplicemente dire che ci sono cariche negative (come gli elettroni), niente di particolarmente strano.

Tieni presente che questi conti con i $dr$ e con approssimazioni di quel tipo (e del tipo $\sin{x} \approx x$ , $cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ , e simili) si richiede (alle Olimpiadi, dalle provinciali in su, ed ai test di ammissione alle scuole di eccellenza) che gli studenti li sappiano fare con una certa dimestichezza.

P.S.: Grazie per la pazienza, Pigkappa.

no problem

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