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In questo caso il lavoro è soltanto quello necessario a mettere in moto la pallina con la velocità iniziale (se prima stendi il filo senza incontrare alcuna resistenza e poi metti in moto la pallina) ma devi sempre considerare che con l'urto si è persa una parte consistente di energia!

Lascia stare gli urti... Se la pallina urta il perno la tua approssimazione che si possa conservare il momento angolare non resta valida!

Facciamo un ragionamento ideale.
Imprimo inizialmente una piccola velocità alla pallina. Quando il raggio è , diciamo, la metà e la sua energia cinetica è quadruplicata la fermo e assorbo la sua energia cinetica (che posso usare per scaldare qualcosa o far girare una pala). Ora con la palla ferma riporto tutta l'apparecchiatura, se vuoi molto lentamente, in posizione finale. Per fare questa operazione non ho dovuto compiere lavoro, no? Ora rimetto in moto la pallina e vado avanti ciclicamente, e così facendo produco energia dal nulla!!!!!!!!

Converrai con me che tutto ciò è lievemente assurdo!!!!

Gabry ha scritto: Scusami scrivevo dal cellulare e mi sono espresso male, la forza che compie il lavoro è la tensione (in questo senso reazione vincolare, se fosse stata un'asta) in quanto il punto di applicazione (la pallina) nel sistema solidale al perno si sposta. Il lavoro compiuto e la differenza di energia cinetica sono quindi scritta meglio cioè risolvendo l'equazione differenziale si ottiene che è proprio la conservazione del momento angolare.

Ti faccio notare che al primo membro chiami v la velocità, mentre al secondo la sua componente tangenziale. Dato che il raggio diminuisce converrai con me che la velocità deve avere anche una componente radiale...
Quindi il tuo ragionamento è sbagliato!

Non hai prodotto energia dal nulla, la palla è collegata in qualche modo ad un piano quindi se la tensione ha prodotto un lavoro (che si ripercuote sul perno) allora anche la pallina ha prodotto lavoro sul piano e quindi il piano ha accelerato e ora si muove con una certa velocità. Se vuoi riportare tutto nelle condizioni iniziali dovrai dare una velocità alla pallina uguale a quella di partenza ma nel sistema di riferimento del piano, il che significa che in un sistema di riferimento solidale a quello iniziale del piano (prima che la pallina iniziasse ad avvolgersi) dovrai conferirgli una velocità, e quindi un'energia, maggiore.

Io colpisco la pallina dal piano. Nel mio sistema di riferimento gli do la stessa velocità di prima. Dato che il mio sistema è inerziale quando è tutto fermo, io non mi posso accorgermi di quello che dici tu e uso la stessa energia per metterlo in moto.
Quando devi colpire una pallina tu non pensi quanta energia cinetica gli dovrò dare, visto la velocità a cui si sta muovendo la Terra e tu e la pallina con lei!!!
Poi se il piano si sta muovendo è ancora meglio, perché lo fermo compiendo un lavoro negativo e guadagno ancora più energia e solo dopo rimetto in moto la palla se è questo che credi non funzioni.

Non mi so regolare bene con l'energia in diversi sitemi di riferimento, ma se il momento angolare cambia, qual è il momento che lo fa cambiare?

P.s. Ho trovato su una fonte abbastanza attendibile che l'energia si conserva perchè la tensione è sempre ortogonale alla velocità, tuttavia così dicendo non considera né lo spostamento ne la velocità radiale quindi non so cosa sia più giusto.

La risposta a entrambe le domande è la stessa: il piolo ha un suo raggio!!!!
La velocità radiale rispetto al punto di contatto non è la velocità radiale rispetto al centro del piolo!!!
La tensione non è una forza centrale perché è tangente al piolo e non diretta verso il suo centro!!

Puoi provare a fare un'approssimazione, ma, se ti vengono risultati totalmente assurdi, la devi abbandonare.
Non è facilissimo (ma neanche troppo difficile), senza analizzare le conseguenze, notare il fatto che l'approssimazione del piolo con raggio piccolissimo è sbagliata.

P.S. Per la cronaca, il lavoro è un prodotto scalare!!! Questa è un'altra ragione per cui le tue equazioni sono sbagliate.

michele95 ha scritto:La risposta a entrambe le domande è la stessa: il piolo ha un suo raggio!!!!

Siamo però nell'ipotesi in cui il piolo è piccolo cioè ha (almeno così lo interpeto io) dimensioni trascurabili. Se si riuscisse a trovare un momento in queste condizioni allora è sicuro che la conservazione del momento angolare non si poteva usare fin dall'inizio, ma se non ci sono momenti in azione la conservazione del momento angolare è necessariamente valida.

michele95 ha scritto:P.S. Per la cronaca, il lavoro è un prodotto scalare!!! Questa è un'altra ragione per cui le tue equazioni sono sbagliate.

Non mi pare di aver considerato il prodotto vettoriale (ho usato infatti la diminuzione del raggio parallela alla forza), il dubbio che mi viene sull'equazione che ho scritto è sulla velocità radiale.
Credo che l'incongruenza stia nel fatto che probabiblmente non è possibile avvolgere un filo attorno ad un piolo puntiforme infatti ad ogni giro se anche il filo ha spessore trascurabile si avvolgerebbe una lunghezza pari a 0 ma per far avvicinare la pallina sarebbe necessario un qualche tipo di forza (legata quindi ad un potenziale) rimanendo quindi la conservazione dell'energia rispettata.
Nel caso in cui il piolo ha delle dimensioni allora è ovvio che il momento angolare non si conserva dato che il filo e quindi la tensione non non diretti lungo la congiungente i cetrni pallina-piolo.