sns 2012 n.3

[Andg94]

Ah ok, almeno questa volta mi son risparmiato qualcosa eheh

Mmmh interessante comunque il punto di vista secondo la meccanica quantistica

[modesto]

Sinceramente in questo caso non ho capito come si possa arrivare ad un tempo finito...

Infatti si fermano in un tempo infinito, almeno secondo la meccanica classica.

Non ho fatto i conti per bene e potrei dire una sciocchezza. I grafici che danno l'ordinata delle biglie in funzione del tempo sono parabole che incontrano l'asse t: le prime due a distanza (sono alte ) e le altre in generale a distanza (sono alte ). Le parabole rappresentative dei moti sono sempre più basse e di minor durata: ad ogni incontro la prima biglia salta nella parabola a ordinata superiore e la seconda in quella a ordinata inferiore: è sempre la seconda che va a toccare il suolo subendo la ritenuta energetica che poi comunica all'altra nel successivo urto elastico per aria. Ora il tempo totale dovrebbe essere la somma degli intervalli intercorrenti fra due successivi urti con il suolo della biglia inferiore. A parte qualche dovrebbe essere dell'ordine di che è la somma di una progressione geometrica di ragione e quindi convergente. Farò meglio i conti prossimamente.

[Gabry]

Non credo possa annullarsi in un tempo finito, sono d'accordo che è sempre la seconda pallina a toccare il suolo, ma questa ogni urto diminuisce la sua velocità di un fattore (ovviamente scambia velocità con l'altra pallina quindi ogni due urti l'energia si dimezza di un fattore , concordo con la soluzione di Andg94), è vero che le parabole sono sempre più piccole, ma non si annullano mai, in quanto non si può annullare mai la velocità, tranne per n che tende ad infinito ma non si possono avere infiniti rimbalzi in un tempo finito.

[Gabry]

Mi correggo, ho fatto subito i conti ed effettivamente è possibile avere infiniti rimbalzi in un tempo finito ( ).
Calcoliamo il tempo: il primo urto avviene con un tempo il secondo con un tempo il terzo urto con un tempo e in generale per n pari, per n dispari si deve semplicemente aggiungere un (ma prendendo n infinito devo prendere la relazione per n pari o quella per n dispari?). Dalla relazione precedente sull'energia abbiamo visto che questa si annulla quando n tende ad infinito, quindi facento il limite del tempo per n che tende ad infinito si ottiene . Quindi è giusto quello che dice modesto, il tempo è finito. Mi sono fatto trarre in inganno dal fatto che i rimbalzi erano infiniti.

[Andg94]

In effetti modesto ha ragione, anche se sinceramente con la mia scarsa conoscenza sulle serie geometriche in prova non sarei mai arrivato a dare la soluzione esatta
Comunque riguardo il limite non ho capito nemmeno io: bisogna prendere in considerazione quel o no?
Riguardo l'energia cinetica, invece, come andrebbe opportunamente espressa? Se è finito allora deve esserci anche un valore di per cui è pari a 0. Esprimendola come ho fatto io si sbaglia perché si avrebbe una contraddizione no?

[Gabry]

Riguardo l'energia cinetica, invece, come andrebbe opportunamente espressa? Se t è finito allora deve esserci anche un valore di n per cui è pari a 0. Esprimendola come ho fatto io si sbaglia perché si avrebbe una contraddizione no?

L'energia cinetica è giusta come l'hai espressa tu, essendo questa si annulla quando n tende ad infinito (se non riesci a inquadrare la situazione guarda il grafico di una funzione esponenziale con base minore di 1) il punto è che la pallina rimbalza un numero infinito di volte con il pavimento in un tempo finito.

Comunque riguardo il limite non ho capito nemmeno io: bisogna prendere in considerazione quel \Delta t o no?

Non so dirtelo con sicurezza, ma credo di si. La pallina urta il suolo due volte con la stessa velocità: se consideriamo la pallina nel caso limite prima dell'ultimo urto questa avrà una velocità che chiamiamo dopo l'urto la pallina si ferma, quindi non può essere il secondo urto con la stessa velocità (altrimenti si sarebbe fermata prima), la seconda pallina anch'essa con velocità dopo che la prima pallina si è fermata urterà dopo un tempo e si fermerà pure essa, quindi credo che si debba considerare anche il , tuttavia essendo il numero di rimbalzi infinito non c'è un "ultimo rimbalzo" e quindi non so se questo ragionamento vada bene

[Andg94]

Si, non ci avevo più pensato, in effetti anche se il tempo è finito il numero di rimbalzi è comunque infinito

[modesto]

Si, non ci avevo più pensato, in effetti anche se il tempo è finito il numero di rimbalzi è comunque infinito

Gabry ha trovato un risultato che coincide con il mio e quindi lo condivido pienamente. Però vorrei aggiungere due cose
1) Siccome chiede "i tempi" di arresto io darei il nostro risultato per la prima biglia ovvero mentre darei per la seconda biglia che parte in ritardo ma si ferma insieme all'altra.
2) Riguardo al numero infinito di rimbalzi in un tempo finito ritengo che bisogna prendere le distanze....dalla matematica. Intanto c'è da osservare che, anche da un punto di vista matematico, quando il limite è finito per n tendente a infinito vuol dire che esiste un N dal quale in poi il tempo risulta praticamente sempre lo stesso ovvero appunto il valore del limite - dato che il residuo sarebbe costituito (credo che si dica) da infinitesimi di ordine superiore irrilevanti per i conti. Ma soprattutto, dal punto di vista fisico, il residuo è di gran lunga inferiore agli ERRORI SPERIMENTALI che faremmo nel misurare quel tempo. Quindi se ne può prescindere.
E questo vale anche per il numero di rimbalzi. C'è un N-mo rimbalzo dal quale in poi le biglie sono da considerare ferme (sennò ci sarebbe una contraddizione: se rimbalzassero non starebbero FERME come chiede il testo!) poichè gli errori sperimentali che faremmo nel misurare le loro posizione sarebbero di gran lunga superiori all'altezza raggiunta con questi rimbalzi. Credo che in fisica bisogna sempre confrontarsi con la misura reale delle grandezze, lunghezze o tempi che siano.
A tal proposito vorrei anche osservare Gabry che, per quanto ne so io, questo discorso sugli errori non ha nulla a che fare con il principio di indeterminazione e la meccanica quantistica che avevi ricordato: da un lato si tratta di limiti connessi agli STRUMENTI DI MISURA dall'altro di un limite imposto dalla NATURA.

[Gabry]

1) Siccome chiede "i tempi" di arresto io darei il nostro risultato per la prima biglia ovvero T_1= \frac{2v_0}{g}.\frac{1}{1-\epsilon} mentre darei T_2 = T_1 - \Delta t per la seconda biglia che parte in ritardo ma si ferma insieme all'altra.

La biglia che parte in ritardo si ferma sicuramente dopo la prima biglia e, se la prima biglia si è fermata in un qualche momento (come ho spiegato sopra necessariamente con l'urto pari), questa si ferma con l'urto dispari della relazione che ho trovato precedentemente e quindi,trovando il tempo come già fatto, con un tempo di volo (dalla partenza fino all'arresto) uguale a quello della prima biglia e con un tempo assoluto uguale a quello della biglia più un . D'altronde la situazione è assolutamente analoga alla seconda biglia che urta direttamente il suolo senza l'intermediazione della prima biglia (quindi devono impiegare lo stesso tempo a fermarsi).
Non sono d'accordo sull'interpretazione: il valore finito di un limite per la variabile che tende ad infinito non vuol dire che esiste un n dal quale in poi il tempo è sempre lo stesso, ma vuol dire che la funzione si avvicina sempre di più al limite fino a coincidere all'infinito con il limite stesso. Non credo che il risultato abbia a che fare con un qualche tipo di errore sperimentale: non sono approssimazioni, ma un risultato esatto che deriva dal fatto che si stanno trattando variabili continue. Ovviamente la situazione reale è un pò diversa perchè si ha a che fare con quantità discrete, ma comunque ci si distanzierebbe di pochissimo (una quantità praticamente trascurabile) dal risultato che abbiamo ottenuto.

P.s. Ho pensato a questa cosa (che non dovrebbe cambiare i risultati, ma a cui non avevo fatto caso), la distanza temporale tra due urti con la stessa velocità è quindi ad un certo punto (quando il tempo di volo della pallina sarà minore di questo tempo) la pallina in basso colpirebbe la pallina in alto dopo aver rimbalzato più volte al suolo.

[modesto]

La biglia che parte in ritardo si ferma sicuramente dopo la prima biglia e, se la prima biglia si è fermata in un qualche momento (come ho spiegato sopra necessariamente con l'urto pari), questa si ferma con l'urto dispari della relazione che ho trovato precedentemente e quindi,trovando il tempo come già fatto, con un tempo di volo (dalla partenza fino all'arresto) uguale a quello della prima biglia e con un tempo assoluto uguale a quello della biglia più un . D'altronde la situazione è assolutamente analoga alla seconda biglia che urta direttamente il suolo senza l'intermediazione della prima biglia (quindi devono impiegare lo stesso tempo a fermarsi).

Credo che siamo d'accordo che le due biglie stanno sulla stessa verticale sempre: sennò non si potrebbe parlare di urti fra loro. Quindi la biglia che parte in ritardo rimane sempre SOTTO, è la seconda. Non c'entrano nulla il pari e il dispari sulla base del tuo stesso risultato in cui fai tendere n all'infinito. La biglia sotto, la seconda partita in ritardo, è quella che subisce la ritenuta energetica, che comunica all'altra negli urti. Quindi non può fermarsi DOPO la prima, semmai prima della prima. Perchè altrimenti comunicherebbe il suo moto alla prima che sarebbe ferma sopra di lei. In realtà si fermano insieme, una sopra l'altra. Nota che infatti il testo dice di TRASCURARE le loro dimensioni. Come se fossero puntiformi perchè risulta improbabile pensare ad una sfera che si ferma sopra un'altra. Quindi SI FERMANO ALLO STESSO ISTANTE e non come dici tu "impiegano lo stesso tempo a fermarsi" : infatti non sono partite insieme. Se quella sotto, la seconda, è partita dopo non può pertanto avere un tempo di volo uguale a quello della prima , ma INFERIORE di E NON SUPERIORE, come sembri pensarla tu.

Non sono d'accordo sull'interpretazione: il valore finito di un limite per la variabile che tende ad infinito non vuol dire che esiste un n dal quale in poi il tempo è sempre lo stesso, ma vuol dire che la funzione si avvicina sempre di più al limite fino a coincidere all'infinito con il limite stesso. Non credo che il risultato abbia a che fare con un qualche tipo di errore sperimentale: non sono approssimazioni, ma un risultato esatto che deriva dal fatto che si stanno trattando variabili continue. Ovviamente la situazione reale è un pò diversa perchè si ha a che fare con quantità discrete, ma comunque ci si distanzierebbe di pochissimo (una quantità praticamente trascurabile) dal risultato che abbiamo ottenuto.

O mi sono spiegato male o non hai capito. Ho detto che da un certo n in poi il risultato è "praticamente" lo stesso, differendo da quello finale cui alludi per infinitesimi inessenziali - vai a rivedere il mio post. Applicando la definizione di limite, fissata la distanza poniamo di ci sarà un n dal quale in poi la differenza è inferiore di questo valore. E gli errori che c'entrano, dirai. Eccome se c'entrano. Sai bene che per decidere se la nostra teoria e il nostro risultato sono corretti non servono le diatribe fra noi. Bisognerebbe fare un gran numero di misure del tempo di arresto. Un qualunque cronometro avrà un suo potere risolutivo, diciamo il microsecondo per fare un esempio. E' allora inutile spingersi all'n (rimbalzo) corrispondente alla differenza di perchè è inferiore di gran lunga all'errore che commettiamo con il nostro cronometro e quindi tutti i risultati che differiscono meno di un micro ci lasciano indifferenti. Questo era il senso di quello che ho detto.

P.s. Ho pensato a questa cosa (che non dovrebbe cambiare i risultati, ma a cui non avevo fatto caso), la distanza temporale tra due urti con la stessa velocità è quindi ad un certo punto (quando il tempo di volo della pallina sarà minore di questo tempo) la pallina in basso colpirebbe la pallina in alto dopo aver rimbalzato più volte al suolo.

Certamente, ma ti dirò di più. Se si fissa un pratico valore di si osserva che quella sotto può fare più rimbalzi prima di riurtare quella sopra anche prima della fase finale. Ma la circostanza non compromette il nostro risultato.