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Per puro amore di discussione, se ben capisco è un piano che "entra" nella Terra. Ma allora il proiettile sparato parallelamente all'asse subisce una forza verso il centro proporzionale alla massa terrestre compresa nella sfera avente per raggio la sua distanza dal centro: in ogni caso tende ad avvicinarsi all'asse cioè ad entrare "ancor più dentro" e non a proseguire parallelamente all'asse.

Solo per chiarire (non penso sia questo il nucleo del problema): non sto negando che il proiettile sparato parallelamente all'asse gli si avvicini, anzi è tutto il contrario. Un proiettile sparato parallelamente tende solo ad avvicinarsi all'asse (e mai ad allontanarsi eccetto il momento in cui il proiettile ha superato l'asse), mentre un proiettile con una certa velocità "radiale" tenderà in primo luogo (lungo la componente radiale) ad allontanarsi dall'asse per poi riavvicinarvisi a causa della forza di gravità, quindi a mio parere la componente radiale della velocità è una componente "inutile" per raggiungere B.

Ho già negato nel post precedente che questa possa essere la traiettoria: "radente la..."
Allora come deve essere questa traiettoria che deve passare da L e da B? Diversi problemi sns negli ultimi anni hanno riguardato il moto dei satelliti artificiali e delle navi spaziali. Sicuramente li hai presenti e quindi considera le possibili orbite/traiettorie e le loro caratteristiche ENERGETICHE...

Purtroppo non li ho presenti (penso di non averli nemmeno visti dato che ho risolto solo pochi problemi sns degli ultimi anni), ma penso tuttavia che la traiettoria sia un ellisse (una parabola credo presupponga una forza più o meno costante come nel caso dei proiettili che non arrivano ad alta quota e un'iperbole credo che implichi un'energia cinetica maggiore del corpo rispetto ad una traiettoria ellittica).

Si tratta di una traiettoria ellittica. Per risolvere i due quesiti bisogna applicare la coservazione dell'energia e conoscere le proprietà dell'ellisse (che io credo dobbiamo sapere se vogliamo affrontare il test sns). Se non hai intenzione di approfondire ora l'argomento fra qualche giorno posterò doverosamente la soluzione.

Conservando l'energia e il momento angolare ho trovato un'espressione dell'altezza in funzione della velocità e dell'angolo, tuttavia non so come potere calcolare la velocità minima in questo caso. Conosco le principali proprietà dell'ellisse, ma al momento non mi viene in mente niente che possa essere utile dato che la distanza 2d è una generica corda (si chiamano così anche per l'ellisse? ) a meno che la velocità non sia perpendicolare a questa distanza (che diventerebbe il semiasse minore). Appena puoi posta la soluzione sono curioso di sapere come si risolve il problema.

Si tratta di un'ellisse passante per e per ed avente ovviamente un fuoco nel centro della Terra (nel piano del cerchio massimo passante per i due punti). Detto al solito il suo semiasse maggiore, giacente sulla retta per asse dell'arco , l'energia del missile (cinetica + potenziale) è dove i simboli sono autoevidenti: è il raggio terrestre e la velocità iniziale in . Dall'uguaglianza si deduce immediatamente che, se è minima, anche è minima. E' la conseguenza chiave del problema. Dov'è il secondo fuoco ? Per definizione di ellisse, se allora = . Se è minimo anche è minimo. Allora è PERPENDICOLARE all'asse maggiore ed il triangolo è rettangolo in . Quindi è anche e mentre la distanza fra i fuochi risulta .
Risposta al primo quesito: .
L'angolo di lancio è quello formato dalla tangente all'ellisse con la tangente alla circonferenza massima in . Interviene ora un'altra proprietà dell'ellisse: la tangente all'ellisse in un punto forma angoli UGUALI con le congiungenti il punto con i fuochi. Considerando che il raggio è poi perpendicolare alla tangente alla circonferenza massima in , risulta facilmente che questi angoli valgono .
Risposta al secondo quesito: l'angolo di lancio risulta allora

modesto ha scritto:l'energia del missile (cinetica + potenziale) è

Non ho capito questo passaggio, stai forse conservando l'energia? Se è così anche nel punto più alto il proiettile ha una velocità che non vedo nella formula (calcolabile mettendo a sistema con la conservazione del momento angolare) e inoltre se calcoli l'energia dal centro della terra (lo presumo da R nella seconda energia potenziale) alla massima altezza la distanza dal centro sarà 2a-c (dove c è la distanza del fuoco dall'afelio o dal perielio).

Gabry ha scritto:

modesto ha scritto:l'energia del missile (cinetica + potenziale) è

Non ho capito questo passaggio, stai forse conservando l'energia? Se è così anche nel punto più alto il proiettile ha una velocità che non vedo nella formula (calcolabile mettendo a sistema con la conservazione del momento angolare) e inoltre se calcoli l'energia dal centro della terra (lo presumo da R nella seconda energia potenziale) alla massima altezza la distanza dal centro sarà 2a-c (dove c è la distanza del fuoco dall'afelio o dal perielio).

Al primo membro c'è l'energia totale del missile(cinetica+potenziale)in qualsiasi punto della traiettoria - vedi problema 1 sns 2007/08 in cui si chiede esplicitamente di mostrarlo. Al secondo membro c'è l'energia totale in L che ovviamente deve uguagliare il primo membro. Si vede che la velocità iniziale, giustamente, stabilisce quanto sarà il semiasse maggiore perchè l'energia potenziale in L è quella che è giacchè dipende da R. Nel caso sia minima (per raggiungere B) viene il valore del semiasse calcolato perchè consegue che LCF deve essere rettangolo in F - dato che anche LF deve essere minimo.
Quanto alla quota più alta la distanza dal centro è a+c ( e non 2a-c), nel linguaggio usuale dell'ellisse in cui l'ascissa del fuoco è c come ho precisato. Ma non serve calcolare la velocità a quella quota che, volendo, dato a, potremmo valutare. Basta toglierci R per rispondere al primo quesito su H.

Non conoscevo questo modo di scrivere l'energia che in questo problema si è rivelata molto utile, lo terrò a mente in futuro. Ho un'ultima domanda: H resta in funzione di a che è funzione di v, come hai trattato il caso di v minima?

Gabry ha scritto:Non conoscevo questo modo di scrivere l'energia che in questo problema si è rivelata molto utile, lo terrò a mente in futuro. Ho un'ultima domanda: H resta in funzione di a che è funzione di v, come hai trattato il caso di v minima?

Sinceramente non capisco la domanda. Nella risposta al primo quesito ho espresso H in funzione di d e di R: quindi H NON resta in funzione di a.
Ribadisco un'altra volta la catena di implicazioni: 1) dall'uguaglianza energetica deriva che a è funzione della velocità iniziale (pare giusto infatti che la lunghezza dell'asse maggiore della traiettoria ellittica dipenda da quanto si "spinge" all'inizio l'oggetto) 2) al valore minimo della velocità iniziale corrisponde allora il valor minimo di a 3) pertanto deve essere minimo anche 2a-R = LF, congiungente L con il secondo fuoco F(l'altro è ovviamente C) 4) ma il segmento LF è minimo SE è PERPENDICOLARE all'asse maggiore (ogni altro segmento è maggiore di quello perpendicolare) 5) con questa conseguenza-chiave della velocità iniziale minima, si determinano a,c e volendo la stessa velocità iniziale, tutti in funzione dei dati d ed R.
Nota infine la proprietà dell'ellisse - che si ricorda poco - per cui la tangente in un punto forma angoli UGUALI con le congiungenti il punto con i fuochi: consente di rispondere facilmente al secondo quesito sull'angolo di lancio.

Non avevo visto il segno uguale dopo la prima uguaglianza con l'altezza, pensavo fosse tutta un'unica espressione, grazie per le precisazioni