Si tratta di un'ellisse passante per
e per
ed avente ovviamente un fuoco nel centro
della Terra (nel piano del cerchio massimo passante per i due punti). Detto al solito
il suo semiasse maggiore, giacente sulla retta per
asse dell'arco
, l'energia del missile (cinetica + potenziale) è
mv_0^{2} - \frac{GMm}{R})
dove i simboli sono autoevidenti:
è il raggio terrestre e
la velocità iniziale in
. Dall'uguaglianza si deduce immediatamente che, se
è minima,
anche è minima. E' la conseguenza chiave del problema. Dov'è il secondo fuoco
? Per definizione di ellisse, se
allora
=
. Se
è minimo anche
è minimo. Allora
è PERPENDICOLARE all'asse maggiore
ed il triangolo
è rettangolo in
. Quindi è anche
e
)
mentre la distanza fra i fuochi risulta
.
Risposta al primo quesito:
)
.
L'angolo di lancio è quello formato dalla tangente all'ellisse con la tangente alla circonferenza massima in
. Interviene ora un'altra
proprietà dell'ellisse: la tangente all'ellisse in un punto
)
forma angoli UGUALI con le congiungenti il punto
con i fuochi. Considerando che il raggio è poi perpendicolare alla tangente alla circonferenza massima in
, risulta facilmente che questi angoli valgono
.
Risposta al secondo quesito: l'angolo di lancio risulta allora
) a meno che la velocità non sia perpendicolare a questa distanza (che diventerebbe il semiasse minore). Appena puoi posta la soluzione sono curioso di sapere come si risolve il problema.