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String ha scritto: $\displaystyle \vec v_0=\vec v-\vec V- \vec v' \rightarrow v_0=v-V+\omega' R$

Dove sbaglio?

Credo sia questo l'errore.

Da come hai supposto i vettori inizialmente, $\displaystyle \vec v', \vec V$ sono opposti a $\displaystyle \vec v$ , quindi $\displaystyle -\vec v',- \vec V$ sono concordi a $\displaystyle \vec v$ , e allora:

$\displaystyle \vec v_0=\vec v + (-\vec V) + (- \vec v') \rightarrow | \vec{v_0}|= |\vec{v}| + |\vec{V}| + |{\vec{\omega'} \wedge \vec{R}|$

CoNVeRGe. ha scritto: $\displaystyle \vec v, \vec V$ sono opposti a $\displaystyle \vec v_0$

Perchè? La locomotiva (che supponiamo si muova in senso orario) non si muove sempre in verso orario rispetto ai binari?

CoNVeRGe. ha scritto: quindi $\displaystyle -\vec v,- \vec V$ sono concordi a $\displaystyle \vec v_0$ , e allora:
$\displaystyle \vec v_0=\vec v + (-\vec V) + (- \vec v') \rightarrow v_0=v+V+\omega' R$

Ma così $v_0$ verrebbe positiva come $v$ , che è in contraddizione con quanto affermato prima, cioè che sono opposti...

Scusami, all'inizio volevo dire $\displaystyle \vec{v'}$ al posto di $\displaystyle \vec{v}$ , si poteva capire dai passaggi successivi..

Comunque dipende tutto da come hai supposto i vettori. E, da come mi sembra che tu li abbia supposti, è lì che hai sbagliato.
Infatti all'inizio, dalla conservazione della quantità di moto che hai scritto, vedo che il vettore $\displaystyle \vec{V}$ è opposto a $\displaystyle \vec{v}$ e allora la differenza $\displaystyle \vec{v} - \vec{V}$ "diventa" la somma $\displaystyle v + V$ .

String ha scritto: $\displaystyle \omega ' =\frac {Mv_0+mv_0-\omega MR+\omega mR}{mR}\qquad (2)$

Se non mi sbaglio qui hai sbagliato a ricopiare, anzichè $\omega '$ hai scritto il valore ottenuto per $\omega$ sostituendo nella (1).

Aldilà di queste sciocchezzuole, non ho capito perchè dovremmo assumere nella composizione delle velocità (passando ai moduli) $v_0=v+V+\omega R$ ...

Se ho capito ben le convenzioni sono:
$\vec v$ = velocità della locomotiva rispetto al centro di massa del sistema
$\vec V$ = velocità dei binari rispetto al centro di massa del sistema
$\vec v'$ = velocità dei binari rispetto al baricentro del circuito
Quindi $\vec v$ e $\vec V$ sono entrambe in senso orario, perchè M ed m si mantengono da parti opposte rispetto al centro di massa del sistema, mentre $\vec v'$ è in senso antiorario perchè i binari slittano in senso opposto alle ruote della locomotiva.

Quindi non dovrebbe essere $v_0=v-V+\omega R$

Comunque con i segni proposti da CoNVeRGe salta fuori
$\omega=\dfrac{v_o}{R}\dfrac{M+m}{M+2m}$

Correggo quel che ho scritto prima che non era tanto chiaro:

CoNVeRGe. ha scritto: Da come String ha supposto i vettori inizialmente, $\displaystyle \vec v', \vec V$ sono opposti a $\displaystyle \vec v$ , quindi $\displaystyle -\vec v',- \vec V$ sono concordi a $\displaystyle \vec v$ , e allora:

$\displaystyle \vec v_0=\vec v + (-\vec V) + (- \vec v') \rightarrow | \vec{v_0}|= |\vec{v}| + |\vec{V}| + |{\vec{\omega'} \wedge \vec{R}|$

Ho usato i moduli così ci si capisce meglio. Adesso vi ritrovate?

Allora il mio problema è perchè $\vec V$ e opposto a $\vec v$ ...
Non sono entrambi diretti in senso orario?

Basta vedere la quantità di moto totale:

$\displaystyle \vec{P} = M \vec{V} + m \vec{v} = 0$

Ahh, forse ora ho avuto l'illuminazione. $\vec V$ lo assumiamo convenzionalmente in senso antiorario quando scriviamo la relazione
$\displaystyle \vec{P} = M \vec{V} + m \vec{v} = 0$
Ma in realtà il suo modulo è negativo, quindi nella pratica $\vec V$ diventa orario. Però quando scriviamo la composizione delle velocità in questo modo
$\displaystyle \vec v_0=\vec v + (-\vec V) + (- \vec v') \rightarrow | \vec{v_0}|= |\vec{v}| + |\vec{V}| + |{\vec{\omega'} \wedge \vec{R}|$
tutto si mette a posto.
Grazie!

Vettori orari o antiorari...

Cosi non ci capiremo mai!

Ecco le conservazioni della quantità di moto e del momento angolare (rispetto al centro di massa):

$\displaystyle \vec{P} = M \vec{V} + m \vec{v} = 0$

$\displaystyle \vec{L} = M \vec D \wedge \vec{V} + m \vec d \wedge \vec{v} + I \vec w' = 0$

Dalla prima vediamo che V ha verso opposto a v. Ma i primi due termini della seconda equazione allora hanno stesso verso (perchè anche d è opposto a D ovviamente), da ciò è determinato il verso di w' e, quindi, di v'. Ora dovrebbe essere tutto chiaro.

La convenzione dei segni l'ho capita: da quelle due equazioni, come hai spiegato tu, si vede quali velocità sono concordi e quali no, quindi sono d'accordo con la composizione delle velocità.
Nella mia infinita ignoranza però mi manca ancora un passaggino: $\vec v$ e $\vec V$ saltano fuori con segni opposti perchè, in ogni istante, circuito e locomotiva hanno direzioni opposte (rispetto al centro di massa) nella loro orbita, giusto?
Quindi pensare a versi orari e antiorari poteva risultare fuorviante...
Se è così allora mi è perfettamente chiaro il tutto! (grazie per la pazienza

)

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