L’equazione
)
si può risolvere in vari modi:
1) INTEGRAZIONE DEFINITA
Con
si ha
che integrata dà
,
,
)
come già scritto.
2) INTEGRAZIONE INDEFINITA
con A=costante.
ed imponendo la condizione iniziale q(0)=0 si ha B=1. Quindi
3) DIMENSIONI COERENTI ED INCOERENTI
Come già detto, integrando direttamente l’equazione
 \,)
dimensionalmente corretta,
si ottiene
)
, che è incoerente nelle dimensioni e contiene il logaritmo dell’unità di misura privo di significato.
4) RISULTATO ESATTO DA UN’EQUAZIONE SENZA SIGNIFICATO
Tuttavia se calcoliamo la carica dall’ultima equazione si ha:
ed inserendo la condizione iniziale discende che
e di conseguenza
.
Il metodo funziona ed è anche una pratica abbastanza diffusa nei libri. Ciò vuol dire che la mancanza di significato, a cui conduce l’integrazione indefinita, può essere evitata con qualche stratagemma.
5) EQUAZIONE CON LE MISURE
In diverse occasioni, pensando alla questione, mi sono fatta la seguente idea:
ogni grandezza G che ha una dimensione è data dal prodotto tra la misura
e l’unità di misura u, ossia
.
In tal modo il rapporto
)
diventa
)
,
in quanto le unità di misura si semplificano. L’integrazione quindi fornisce
)
che è dimensionalmente giusta, da cui
)
.
Ora si può moltiplicare per l’unità di misura e si ricava in definitiva
.
Penso che sia questo il motivo per cui l’integrazione indefinita di un’espressione in parte senza senso porta al risultato esatto.
.