Bella domanda, è un dubbio che era venuto anche a me quando ho studiato relatività. La spiegazione di Feynman che hai riportato mi risulta un po' fumosa e troppo sintetica, non sono sicuro di averne afferrato il senso. Provo a scrivere un ragionamento che mi convince che le lunghezze perpendicolari sono le stesse nei due sistemi di riferimento; è un po' contorto ma non riesco a produrre di meglio, se non si capisce fatemi domande e cercherò di rispondere.
Premessa: come hai giustamente osservato, non puoi giustificare la tesi utilizzando le trasformazioni di Lorentz. Il fatto che
è un'ipotesi delle trasformazioni di Lorentz, se diamo per buone le trasformazioni di Lorentz non lo dobbiamo giustificare.
Vogliamo invece giustificare il fatto che le altezze sono uguali nei due sistemi di riferimento partendo unicamente dal principio di relatività.
Supponiamo di avere due sistemi di riferimento che chiamiamo
e
, in moto uno rispetto all'altro a velocità relativa
. In entrambi i sistemi c'è un'asta di lunghezza a riposo
, orientata perpendicolarmente rispetto a
. Nel sistema
c'è l'asta 1 e nel sistema
c'è l'asta 2. Supponiamo che, nel momento in cui le due aste si trovano una di fianco all'altra, le coordinate y dei loro estremi inferiori coincidano. Supponiamo inoltre che sugli estremi superiori siano fissati due gessetti.
Come "lunghezza a riposo" intendo la lunghezza misurata nel sistema in cui l'asta è ferma.
Mettiamoci nel sistema
. L'asta 1 è ferma e ha lunghezza
, l'asta 2 si sta muovendo a velocità
e ha una lunghezza
che, senza assumere le trasformazioni di Lorentz, è incognita. Ci aspettiamo che
dipenda da
e dalla velocità, in un modo che dobbiamo scoprire.
Supponiamo per assurdo che
<L_0)
: allora, nel momento in cui le aste si incontrano (supponiamo che passino una a fianco all'altra), il gessetto fissato in cima all'asta 2 fa un segno sull'asta 1. Il gessetto fissato in cima all'asta 1, invece, essendo più in alto non fa nessun segno.
Dopo l'incontro abbiamo quindi: asta 1 con un segno di gesso, asta 2 senza segni.
Rivediamo ora lo stesso fenomeno dal punto di vista di un osservatore nel sistema
. Qui l'asta 2 è ferma e ha lunghezza
, l'asta 1 invece si muove a velocità
. Che lunghezza ha l'asta 1? La legge di trasformazione delle lunghezze deve essere la stessa di prima: se un'asta si muove a velocità
rispetto all'osservatore, la sua lunghezza dovrà essere ancora la stessa
)
di prima; se così non fosse, avremmo un esperimento per distinguere il sistema
dal sistema
: la legge di trasformazione delle lunghezze perpendicolari sarebbe diversa nei due sistemi. Questo ci è impedito dal principio di relatività.
Torniamo quindi nel sistema S': l'asta 2 ha lunghezza
, l'asta 1 ha lunghezza
. Quindi il gesso in cima all'asta 2 non fa nessun segno, il gesso in cima all'asta 1 fa un segno sull'asta 2.
Dopo l'incontro abbiamo: asta 1 senza segni, asta 2 con un segno di gesso.
Abbiamo quindi un paradosso: per un osservatore nel sistema
l'asta 1 ha un segno di gesso, per un osservatore nel sistema
la stessa asta 1 è pulita. Ma questo è un paradosso! La proprietà "essere segnata di gesso" non deve dipendere dal sistema di riferimento. Se non vi piace la versione col gessetto, metteteci qualcosa di più radicale, tipo un coltello che taglia in due l'asta; la sostanza non cambia.
Abbiamo quindi dimostrato che
non è minore di
.
Con un ragionamento analogo che non riscrivo si dimostra che
non è maggiore di
.
Concludiamo quindi che
=L_0)
, cioè che la lunghezza dell'asta misurata da un osservatore in moto a velocità
perpendicolare all'asta stessa è sempre la stessa.
