Sns 2012/2013 fresco fresco! 4

[modesto]

Gabry, non so se avrete la pazienza di leggermi. Penso che per fissare le sfere nel polistirolo a varie quote serve quello che ho chiamato "contenitore di uova" per cui si può immaginare il cubo suddiviso in 1 milione di "cubi-nido" di spigolo 2 cm ciascuno dei quali può alloggiare o meno una sfera di ferro. 300 di questi contengono le sfere. 3 ogni 10000 che sono i cubi aventi una faccia sulla faccia del cubo grande su cui si spara. Se sono davvero disposte a caso ce ne saranno 3 ogni 10000 cubi disposti nei 100 settori, ciascuno con 10000 cubi, nella direzione dell'asse della faccia su cui si spara e, son d'accordo con te, nella direzione delle traiettorie dei pallini sempre perpendicolari alla faccia su cui si spara. La casualità impone che ai pallini incipienti la faccia su cui si spara appaia come uno schermo di 4 con 10000 quadratini in 300 dei quali è presente un cerchio ( sfera): infatti la "profondità" a cui una sfera si trova non ha rilevanza viste le nostre premesse.
Siccome il raggio della sfera è 1 cm e quello del pallino è 1/2 cm, al fine della possibilità d'urto tutto va come se il pallino avesse dimensioni trascurabili e la sfera avesse raggio 15 mm. Le 300 sfere occupano così un'area pari a che è il 5% dei 4 e rappresenta la probabilità d'urto di un pallino con una sfera.
Io vedo la deviazione subìta dal pallino come il doppio dell'angolo di incidenza formato dalla traiettoria, perpendicolare alla faccia del cubo di polistirolo su cui si spara, con la normale alla sfera nel punto d'urto ( a 0° il pallino torna indietro a 90° prosegue). Si può dividere un cerchio sezione della sfera di ferro che appare sullo schermo della faccia su cui si spara in nove corone circolari a partire dal centro: fra 0° e 10°, fra 10° e 20°,...,fra 80° e 90°. Essi rappresentano i possibili angoli di incidenza. Se accettiamo una approssimazione del 10%, accettiamo deviazioni fra 120°-12°=108° e 120°+12°=132° corrispondenti ad angoli di incidenza compresi fra 54° e 66° ovvero ad una probabilità pari a 12/90. La risposta che darei al primo quesito sarebbe quindi
12/90.5%=
meno di 7 pallini ogni 1000 sparati.
Ho pronta la soluzione del secondo quesito. Prima però vorrei sapere il giudizio di chi ha avuto la pazienza di leggermi.

[Gabry]

Gabry, non so se avrete la pazienza di leggermi. Penso che per fissare le sfere nel polistirolo a varie quote serve quello che ho chiamato "contenitore di uova" per cui si può immaginare il cubo suddiviso in 1 milione di "cubi-nido" di spigolo 2 cm ciascuno dei quali può alloggiare o meno una sfera di ferro. 300 di questi contengono le sfere. 3 ogni 10000 che sono i cubi aventi una faccia sulla faccia del cubo grande su cui si spara. Se sono davvero disposte a caso ce ne saranno 3 ogni 10000 cubi disposti nei 100 settori, ciascuno con 10000 cubi, nella direzione dell'asse della faccia su cui si spara e, son d'accordo con te, nella direzione delle traiettorie dei pallini sempre perpendicolari alla faccia su cui si spara. La casualità impone che ai pallini incipienti la faccia su cui si spara appaia come uno schermo di 4 con 10000 quadratini in 300 dei quali è presente un cerchio ( sfera): infatti la "profondità" a cui una sfera si trova non ha rilevanza viste le nostre premesse.
Siccome il raggio della sfera è 1 cm e quello del pallino è 1/2 cm, al fine della possibilità d'urto tutto va come se il pallino avesse dimensioni trascurabili e la sfera avesse raggio 15 mm. Le 300 sfere occupano così un'area pari a che è il 5% dei 4 e rappresenta la probabilità d'urto di un pallino con una sfera.
Io vedo la deviazione subìta dal pallino come il doppio dell'angolo di incidenza formato dalla traiettoria, perpendicolare alla faccia del cubo di polistirolo su cui si spara, con la normale alla sfera nel punto d'urto ( a 0° il pallino torna indietro a 90° prosegue). Si può dividere un cerchio sezione della sfera di ferro che appare sullo schermo della faccia su cui si spara in nove corone circolari a partire dal centro: fra 0° e 10°, fra 10° e 20°,...,fra 80° e 90°. Essi rappresentano i possibili angoli di incidenza. Se accettiamo una approssimazione del 10%, accettiamo deviazioni fra 120°-12°=108° e 120°+12°=132° corrispondenti ad angoli di incidenza compresi fra 54° e 66° ovvero ad una probabilità pari a 12/90. La risposta che darei al primo quesito sarebbe quindi
12/90.5%=
meno di 7 pallini ogni 1000 sparati.
Ho pronta la soluzione del secondo quesito. Prima però vorrei sapere il giudizio di chi ha avuto la pazienza di leggermi.

Non so se ho capito pienamente quello che vuoi dire, scritto così non è semplice farsi un idea. A quanto ho capito consideri le sfere di ferro fisse (cioè non si muovono dopo l'urto), è una possibile interpretazione, però a questo punto come sfrutti la densità del ferro? Poi, se non ho capito male ma non ne sono sicuro, hai considerato che alcune palline sono "oscurate" da possibili palline che si trovano davanti? Inoltre mi pare che tu abbia considerato la distribuzione media delle palline, però anche così bisognerebbe stimare l'errore che si compie approssimando una qualunque distribuzione alla distribuzione media. Se ho capito male qualcosa, come penso che sia, fammelo presente.

[baratti07]

ho semplicemente confrontato la sezione d'urto totale buona per l'angolo di deflessione che volevano loro con la superficie del cubone...quindi ho assunto che le palline fossero quasi tutte non sovrapposte. approssimazione molto brutale pero anche sentendo un po' in giro è stata quella più seguita.
Per il testo...si come sempre sono chiari per modo di dire

[modesto]

Ti ringrazio Gabry per la pazienza ma senza poter fare figure è difficile spiegarsi. La densità del ferro viene data secondo me solo per giustificare il contenitore: come dire le sfere pesano e non stanno sospese per aria; se servisse ad altro darebbe anche quella dei pallini. Per quanto riguarda poi la altre domande:
1) Si, io penso che si possa ignorare ciò che succede alla sfera di ferro dopo l'urto: quello che conta è la deviazione subìta dal pallino
2) Siccome parla di distribuzione "a caso", ho considerato che la più probabile è quella in cui sullo "schermo"-faccia su cui si spara appaiono 300 sfere-cerchi, tre per ogni riga e per ogni colonna senza oscuramenti. Infatti una configurazione più improbabile, quindi meno "a caso", potrebbe essere per esempio quella in cui appaiono solo 3 sfere sullo schermo con altre 99 per ciascuna allineate (oscurate) nella stessa riga e nella stessa colonna: ma converrai che si tratta di una distribuzione più improbabile e meno random come credo si dica.
3) Non capisco molto il discorso della media: ribadisco che considero "a caso" una distribuzione più probabile ovvero SENZA oscuramenti
Grazie ancora, se non hai altri rilievi domani posterò la soluzione del secondo quesito.

[Gabry]

Ti ringrazio Gabry per la pazienza ma senza poter fare figure è difficile spiegarsi. La densità del ferro viene data secondo me solo per giustificare il contenitore: come dire le sfere pesano e non stanno sospese per aria; se servisse ad altro darebbe anche quella dei pallini. Per quanto riguarda poi la altre domande:
1) Si, io penso che si possa ignorare ciò che succede alla sfera di ferro dopo l'urto: quello che conta è la deviazione subìta dal pallino
2) Siccome parla di distribuzione "a caso", ho considerato che la più probabile è quella in cui sullo "schermo"-faccia su cui si spara appaiono 300 sfere-cerchi, tre per ogni riga e per ogni colonna senza oscuramenti. Infatti una configurazione più improbabile, quindi meno "a caso", potrebbe essere per esempio quella in cui appaiono solo 3 sfere sullo schermo con altre 99 per ciascuna allineate (oscurate) nella stessa riga e nella stessa colonna: ma converrai che si tratta di una distribuzione più improbabile e meno random come credo si dica.
3) Non capisco molto il discorso della media: ribadisco che considero "a caso" una distribuzione più probabile ovvero SENZA oscuramenti
Grazie ancora, se non hai altri rilievi domani posterò la soluzione del secondo quesito.

Hai ragione non c'è la massa dei pallini! Non ci avevo fatto caso, vedendo la densità del ferro pensavo fosse data anche quella dei pallini (avendo letto il testo distrattamente mi ero immaginato un problema tutto mio che ho risolto simbolicamente quindi non ho controllato che ci fossero tutti i dati), quindi si può concludere senza dubbio che le sferette di metallo restano ferme. Per il discorso della media io ho interpretato che l'approssimazione del 10% non fosse sull'angolo di uscita, ma esclusivamente sul numero di pallini di cui non si poteva conoscere il numero esatto dato che la distribuzione delle sfere era casuale. Per questo secondo la mia interpretazione non si può prendere la distribuzione più probabile ignorando le altre senza pesarle sull'errore assoluto e quindi su quello percentuale. Se però l'approssimazione è riferita all'angolo di uscita dei pallini (nel senso che vanno contati quelli che escono con un angolo a=120°+- x) allora il tuo ragionamento è corretto.

[modesto]

Sono prigioniero di due DUBBI sulla mia soluzione e quindi ho bisogno ancora di tempo per riflettere (che non avrei avuto se avessi fatto il test... ehm ehm) in attesa del testo ufficiale nel sito.
1) Avevo calcolato la probabilità d'urto di un pallino con una sfera come rapporto fra le aree dei 300 cerchi, ciascuno di raggio 15 mm ( somma dei raggi sfera-pallino), con l'area di 4 mq. dello schermo-faccia su cui si spara. In realtà se le sfere sono numerose, come per esempio nel secondo quesito, il metodo porta alla contraddizione che l'area dei cerchi è maggiore di 4 mq. e quindi l'idea non funziona. Sarei ora propenso a dire che la probabilità d'urto è semplicemente 300/10000= 3%.
2) Il metodo di sommare i raggi lo confermerei invece per calcolare la deviazione considerando un pallino di dimensioni trascurabili che urta una sfera di 15 mm di raggio. Tuttavia anche in questo caso avrei fatto un errore nel valutare come 12/90 la probabilità che incontrasse fra 54° e 66°. Non tutti gli intervalli di 12° sono equivalenti! Qui davvero conterebbe il rapporto fra l'area della zona d'urto sferica compresa fra 54° e 66° e l'area della semisfera. Il rapporto dovrebbe essere (sen 66° - sen 54°)= 0,11. Pertanto la percentuale di pallini deviati a 120° con quell'approssimazione risulterebbe ora
0,11.0,03 = 0,0033, circa 3 pallini su 1000 sparati.
Se la deviazione dovesse essere MAGGIORE di 120° allora la zona sferica d'urto dovrebbe essere compresa fra 54° e 90° - intendendo una deviazione di 180° per quei pallini che hanno traiettoria tangente alla sfera di ferro. Il rapporto fra quest'area di zona d'urto e la semisfera è (sen 90° - sen 54°) = 0,19 e pertantola percentuale di pallini deviata oltre 120° dovrebbe risultare
0,19.0,03 = 0,0057, quasi 6 pallini su 1000 sparati.
Se hai altre strade o obiezioni ulteriori alla mia attuale proposta ti prego di comunicarmele.

[Gabry]

2) Il metodo di sommare i raggi lo confermerei invece per calcolare la deviazione considerando un pallino di dimensioni trascurabili che urta una sfera di 15 mm di raggio. Tuttavia anche in questo caso avrei fatto un errore nel valutare come 12/90 la probabilità che incontrasse fra 54° e 66°. Non tutti gli intervalli di 12° sono equivalenti! Qui davvero conterebbe il rapporto fra l'area della zona d'urto sferica compresa fra 54° e 66° e l'area della semisfera. Il rapporto dovrebbe essere (sen 66° - sen 54°)= 0,11. Pertanto la percentuale di pallini deviati a 120° con quell'approssimazione risulterebbe ora
0,11.0,03 = 0,0033, circa 3 pallini su 1000 sparati.
Se hai altre strade o obiezioni ulteriori alla mia attuale proposta ti prego di comunicarmele.

Ecco un dettaglio che non avevo ben capito dalla soluzione precedente. Secondo me non c'è bisogno di sommare i raggi, le sfere potrebbero anche stare un pò più strette della somma dei due raggi. Mi spiego meglio (il metodo è lo stesso della mia vecchia soluzione però con le palline ferme questa volta): conoscendo l'angolo di deviazione si può calcolare, tramite considerazioni geometriche, il parametro d'impatto h, ossia la distanza dal centro della sfera di ferro con cui i pallini devono urtare le sfere affinchè abbiano una deviazione dell'angolo voluto. A questo punto i pallini che rimbalzano a 120° stanno su una circonferenza di raggio h dal centro della sfera di ferro e occupano un raggio uguale a h+r (dove r è il raggio dei pallini). L'area minima occupata per una sfera è uguale ad un cerchio di tale raggio (h+r) se e solo se questo raggio è minore di quello delle palline di ferro, altrimenti l'area minima è quella di una sfera di ferro (infatti non possono esserci sfere che occupano lo spazio di un'altra sfera e se invece sono parzialmente "nascoste" da un'altra sfera bisognerebbe considerare che i pallini che rimbalzerebbero su questa sfera sarebbero minori di quelli che rimbalzano su una sfera non nascosta). Senza figure è un pò difficile spiegarsi, spero di essere stato chiaro, se hai bisogno di chiarimenti su quello che ho scritto fammelo presente.

[modesto]

... il parametro d'impatto h, ossia la distanza dal centro della sfera di ferro con cui i pallini devono urtare le sfere affinchè abbiano una deviazione dell'angolo voluto. A questo punto i pallini che rimbalzano a 120° stanno su una circonferenza di raggio h dal centro della sfera di ferro e occupano un raggio uguale a h+r (dove r è il raggio dei pallini).

Solo stamani ho potuto vedere. Non capisco il parametro di impatto h come non lo avevo capito prima. La distanza dal centro della sfera ..con cui i pallini..Ma quale distanza? Comunque lo urti, il centro del pallino dista dal centro della sfera sempre della somma dei raggi. Che vuol dire " stanno su una circonferenza di raggio h dal centro della sfera"? Dove e come è situata una circonferenza di dato raggio DAL centro...? E' un parallelo? Non capisco neppure cosa vuol dire" stanno su una circonfereza e occupano un raggio"..Vedi se puoi spiegarmelo anche se mi rendo conto delle difficoltà senza figure.
Io ho usato il metodo della somma dei raggi, copiato dalla teoria cinetica dei gas, proprio per "ridurre" i pallini a dimensioni trascurabili essendoci sicuramente un urto quando proiettando le sfere su un piano come la faccia su cui si spara, i centri dei cerchi distano meno della somma dei raggi. In questo caso la deviazione è il doppio dell'angolo di incidenza.
Nota che mette l'approssimazione del 10% secondo me perchè sarebbe inutile chiederci quando la deviazione è proprio 120°: la probabilità di un'incidenza proprio di 60° è nulla! Dal momento che è UN angolo fra gli infiniti compresi fra 0° e 90°!

[Mike]

Se non sbaglio, il testo voleva che l'angolo di deviazione fosse maggiore di 120°, non uguale ad esso...

[Gabry]

Senza figure era impossibile cercare di spiegare, quindi ho schematizzato la situazione nell'immagine (in realtà il pallino dovrebbe essere molto più su per avere un angolo di deflessione mostrato in figura in quanto la retta perpendicolare alla tangente delle du circonferenze dovrebbe essere bisettrice dell'angolo). Quello rappresentato è solo uno dei pallini che colpiscono la sfera a distanza h dal centro (bisognerebbe immaginare di ruotare h attorno all'asse orizzontale guardando il tutto dalla stessa direzione da cui arrivano i pallini.



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Attraverso considerazioni geometriche (che non possono essere fatte dalla mia figura avendo già detto che l'angolo è storpiato) si trova
dove theta è l'agolo di deflessione. Per theta=120 si trova h circa uguale a 13 mm. Dunque bisognerebbe contare quanti pallini entrano in una circonferenza di raggio h. Mentre la minima distanza verticale tra due palline (per non essere parzialmente oscurate) è 2r e dunque l'area interdetta alle altre palline (guardando il cubo da una faccia e schiacciandolo in 2d) è un quadratp, come dicevi tu di lato 2(2r+R) (mi ero confuso nel post precedente su cosa intendevi con il cerchio di raggio r+R, pensavo fosse riferito alle palline che venivano deflesse) .