Skyhook

[Fedecart]

Una fune di densità di massa uniforme è disposta radialmente rispetto alla superficie terrestre, con un estremità che tocca appena il suolo, e l'altra nello spazio. La fune si muove assieme alla terra in modo che la sua estremità quasi a contatto col pianeta rimanga sempre appena sopra lo stesso punto della superficie terrestre.
Trovare la lunghezza della fune in funzione di e di costanti note (, raggio e massa della terra e simili).
Ignorare la presenza della luna e dell'atmosfera, e supporre che la fune sia sufficientemente resistente da non spezzarsi)

Nota. Il problema è tratto da una novella di fantascienza di A.Heinlein in cui è descritto un sistema del genere, chiamato skyhook.
Nota. Per risolvere il problema (perlomeno attraverso l'unica soluzione che conosco io!) occorre saper fare un semplice integrale, dunque se non avete mai sentito parle di integrali vi consiglio di cimentarvi su un altro dei numerosi problemi postati.

[redslion]

Può essere che è necessario porre la condizione che la velocità tangenziale della corda non superi la velocità della luce?

... No, in effetti questo al più sarà il limite se il cavo è ancorato al terreno. Scusate l'intrusione.XD

[Cesare]

Io metterei uguale la forza gravitazionale totale esercitata dalla Terra sulla corda alla forza centrifuga dovuta alla rotazione. Posta una massa infinitesima che disti dalla superficie della terra pari a , si ottiene che



dove nell'LHS c'è la forza gravitazionale totale e nel RHS c'è la centrifuga. Si risolvono gli integrali, si fanno i conti ed esce una cosa brutta... Ma è giusto il procedimento ?

[redslion]

La butto lì, a casaccio (come mio solito)... non sarebbe possibile dividere il cavo in tante "fettine" di massa infinitesimale con la stessa rotazione e indagare le condizioni della fettina più lontana dalla terra, ad esempio ponendo che questa abbia accelerazione 0?

Oppure non sarebbe valido considerare lo stato del centro di massa della fune?

Immagino di no. In effetti, sarebbe troppo comodo.XD

[modesto]

Io metterei uguale la forza gravitazionale totale esercitata dalla Terra sulla corda alla forza centrifuga dovuta alla rotazione. Posta una massa infinitesima che disti dalla superficie della terra pari a , si ottiene che



dove nell'LHS c'è la forza gravitazionale totale e nel RHS c'è la centrifuga. Si risolvono gli integrali, si fanno i conti ed esce una cosa brutta... Ma è giusto il procedimento ?

Mi sembra che la fcg dipenda dalla distanza dell'elemento dall'asse di rotazione, che è quello NS, e non dalla distanza dell'elemento dal centro della terra. La fcf dipende dalla latitudine: al polo sarebbe nulla. Com'è noto la verticale lungo cui cadono i gravi non coincide con la direzione del raggio terrestre ma è la risultante della forza peso e di quella cfg. Alla luce di questo quando potrebbe valere quello che hai scritto?

[Cesare]

Bon, se ho capito quello che hai scritto quello che ho detto vale solo se la fune tocca terra esattamente all'equatore, mentre se la fune tocca terra a latitudine devo ancora trovare un modo...

[modesto]

E' possibile che tocchi terra a latitudine essendo disposta radialmente?.
E' logico che la lunghezza non dipenda da con la tua impostazione?

[Cesare]

No, è vero, se la corda tocca terra ad una certa latitudine diversa dall'equatore allora non può essere disposta radialmente, infatti mi stavo incasinando mettendo un angolo incognito XD
E comunque non capisco dov'è sbagliata la mia idea sopra...

[modesto]

Allora nel caso dell'equatore credo che la tua equazione sia giusta. Siccome ambo i membri contengono la lunghezza della fune non dipende dalla sua densità. Non dicevo che era sbagliato ma chiedevo a me e a te se era logico. Infine hai provato a trovare L? Se i miei conti sono giusti credo che dovremmo commentare il risultato.

[Cesare]

Grazie, mi stavo preoccupando
Sì, mi sembra relativamente logico che sia ininfluente perchè entrambe le "funzioni" di forze che entrano in gioco dipendono dalla massa e quindi queste si elidono... Ma non so, mi sembra una spiegazione un po' stupida...

Comunque risolvendo i due integrali viene che si deve avere che porta ad una sola soluzione fisicamente significativa ovvero ... E a me sembra incommentabile un risultato del genere XD ma sono scarso, quindi dimmi te a questo punto...