Semisfera carica

[Omar93]

Determina l'intensità del campo elettrico nel centro di una semisfera(cioè il centro della sua base) prodotto dalle cariche distribuite uniformemente con densità sulla superficie di questa semisfera.

[modesto]

Siccome è simile a quelli proposti qualche mese fa sulla sfera carica divisa o con buco, provo a postare una soluzione. Considerata la zona sferica infinitesima individuata dai raggi della semisfera che formano un angolo con l'orizzontale, essa ha raggio e altezza . Pertanto possiede la carica e ciascuno dei suoi elementi genera nel centro, da cui dista , un vettore elettrico diretto verso l'esterno della semisfera che forma un angolo con l'orizzontale e un angolo con la verticale. La componente orizzontale di questo campo si elide con quella generata dall'elemento simmetrico rispetto all'asse della semisfera e pertanto va valutata solo la componente verticale del campo generato dalla zona. Il suo modulo totale risulta

mentre la sua componente verticale

e pertanto il modulo è

se non ho sbagliato i conti....mentre è diretto verso l'esterno della semisfera.

[Pigkappa]

Il suo modulo totale risulta

Cos'è questa quantità? "Modulo totale" in che senso?

[modesto]

Al solito ho problemi espressivi e per questo mi hanno fatto fare il liceo classico...Intendevo dire che si tratta della somma dei moduli dei campi generati dagli elementi della zona infinitesima, prima della loro proiezione sull'asse verticale. Io "vedo" questi vettori elettrici infinitesimi che giacciono sulla superficie laterale di un cono con il vertice nel centro della semisfera e di apertura : le componenti orizzontali si elidono due a due e quelle verticali si sommano nel risultato dato - sempre che non abbia sbagliato i conti. Non so se questo procedimento è giusto: l' ho postato per verificarlo.

[Omar93]

Si anch'io ho fatto così. La cosa poteva essere vista in maniera molto più bella(che sicuramente non è mia): il campo elettrico al centro di un distribuzione sferica è dato da ,dove e' l'area della sezione della distribuzione per il piano della base.

[modesto]

Si anch'io ho fatto così. La cosa poteva essere vista in maniera molto più bella(che sicuramente non è mia): il campo elettrico al centro di un distribuzione sferica è dato..

Questa volta ho bisogno io di qualche spiegazione. 1) Il campo elettrico al centro di una distribuzione sferica è nullo 2)Visto che concordi sul risultato la tua deve essere pari a cioè appunto l'area del piano di base della semisfera. Mi proverò a dimostrarlo. Se non ci riesco tu hai eventualmente la dimostrazione da postare?

[Omar93]

Si anch'io ho fatto così. La cosa poteva essere vista in maniera molto più bella(che sicuramente non è mia): il campo elettrico al centro di un distribuzione sferica è dato da ,dove e' l'area della sezione della distribuzione per il piano della base.

Si si,scusa mi sono espresso male. Se una carica è distribuita con densità costante su una parte di superficie sferica di raggio R ,allora il modulo del campo elettrico da essa generato al centro della sfera è dato da ,dove e' l'area della proiezione della distribuzione per il piano della base.

Nel nostro caso Sperp è che dà il risultato di sopra. Per una sfera,basta che consideri due semisfere dando come hai detto 0 al centro.(per la dimostrazione basta che prendi una zona piccola deltaS e fai finta di calcolare il suo campo elettrico al centro. Cos'è il valore deltaS coseno di theta dove theta è l'angoloa formato da deltaS e l'asse della semisfera?)



E se isolassi una parte della distribuzione della semisfera quale sarebbe il modulo di E generato al centro per causa di essa sapendo che il campo calcolato prima è ? Cioè se prendessi due piani passanti per lo stesso diametro e formanti tra di loro un angolo alpha quanto varrebbe il campo generato dalla zona evidenziata da loro?

[modesto]

Si anch'io ho fatto così. La cosa poteva essere vista in maniera molto più bella(che sicuramente non è mia): il campo elettrico al centro di un distribuzione sferica è dato da ,dove e' l'area della sezione della distribuzione per il piano della base.

Ti avevo promesso di tentare di dimostrare questa formula e credo di esserci riuscito. Non è però niente di particolarmente bello. Come c'era da attendersi era già inserita nella nostra, bastava saperla "leggere". Avevamo, dalla soluzione che avevo proposto
.
Ebbene, il numeratore,con esclusione di , rappresenta proprio l'area della corona circolare piana infinitesima proiezione della nostra zona sferica infinitesima sul cerchio base della semisfera. Infatti essa è equivalente ad un rettangolino avente anch'esso, come la zona, base () e altezza infinitesima () dal momento che l'altezza della corona () giace sulla retta tangente alla sfera e forma un angolo con la verticale: la sua proiezione sul piano di base è proprio la citata altezza infinitesima della corona circolare. Per cui si poteva scrivere

Integrando, la somma delle corone circolari è ovviamente proprio () o per dirla come te per cui
.

Ma ora credo che sia bene chiederci perchè il campo nel centro della semisfera non dipende dal raggio della semisfera. Quando ho postato la soluzione ho pensato che dipendesse dal fatto che carica e quadrato della distanza dal centro dipendono entrambe da e i due effetti nel rapporto si elidono: se R raddoppia, triplica...la carica e la distanza al quadrato quadruplicano, nonuplicano...Non so se sei d'accordo.
Infine vorrei chiederti se il testo del problema delle due palle è proprio quello. Non lo "vedo".

[Omar93]

Si anch'io ho fatto così. La cosa poteva essere vista in maniera molto più bella(che sicuramente non è mia): il campo elettrico al centro di un distribuzione sferica è dato da ,dove e' l'area della sezione della distribuzione per il piano della base.

Ti avevo promesso di tentare di dimostrare questa formula e credo di esserci riuscito. Non è però niente di particolarmente bello. Come c'era da attendersi era già inserita nella nostra, bastava saperla "leggere". Avevamo, dalla soluzione che avevo proposto
.

Ciò che avevo visto era diverso da questo: immagina di dividere la tua semisfera non in corone ma in tanti pezzettini,tipo come se fosse un puzzle di tasselli circolari. In questo caso è più immediata la cosa: ti accorgi di quella cosa della sezione.
Certo alla fina bastava 'leggere' ma è appunto quel 'leggere' che ti cambia tutto.
Comunque si,forse era meglio dire carina...

Ma ora credo che sia bene chiederci perchè il campo nel centro della semisfera non dipende dal raggio della semisfera. Quando ho postato la soluzione ho pensato che dipendesse dal fatto che carica e quadrato della distanza dal centro dipendono entrambe da e i due effetti nel rapporto si elidono: se R raddoppia, triplica...la carica e la distanza al quadrato quadruplicano, nonuplicano...Non so se sei d'accordo.

Io avevo pensato per il fatto che la densità è uniforme. E quindi veniva ciò che tu hai scritto.

EDIT:
QUESTA E' L'IMMAGINE DELLA SECONDA DOMANDA

[Omar93]

Ma ora credo che sia bene chiederci perchè il campo nel centro della semisfera non dipende dal raggio della semisfera. Quando ho postato la soluzione ho pensato che dipendesse dal fatto che carica e quadrato della distanza dal centro dipendono entrambe da e i due effetti nel rapporto si elidono: se R raddoppia, triplica...la carica e la distanza al quadrato quadruplicano, nonuplicano...Non so se sei d'accordo.

Io avevo pensato per il fatto che la densità è uniforme. E quindi veniva ciò che tu hai scritto.

No no,è come dici tu. Ci ho pensato e a quanto pare anche se la densità non è uniforme funziona la cosa. Infatti se immagginassimo,ancora..,di dividere la semisfera in base alle densità di carica che ha sulla sua superficie si ha che la carica presente è proporzionale ad R quadro,ed il suo campo elettrico al centro ad 1/R quadro. Quindi si,è come hai scritto.